Beweisübersicht

Der Satz des Pythagoras ist mit seinen mehreren hundert Beweisen der wohl meistbewiesene Satz in der Mathematik. Aufgrund seiner mannigfaltigen Beziehungen zu vielen Bereichen der Elementargeometrie lässt sich die hohe Anzahl an Beweisen erklären. Die Beweistypen greifen auf diverse Hilfsmittel zurück, welche laut Fraedrich (1995) unter anderem folgende Werkzeuge nutzen:

Prinzip der Ergänzungsgleichheit: Werden Formen ohne Überlappung zusammengefasst, so addieren sich ihre Flächen.

Prinzip der Zerlegungsgleichheit: Wird eine Form zerschnitten und werden die Stücke zu einer anderen Form zusammengelegt, so ändert sich die Fläche nicht.

Ähnlichkeitsbeziehungen: Streckt man eine Form um einen Faktor, so skalieren alle Längen mit dem Faktor selbst, die Fläche aber mit dem Quadrat des Faktors.

Arithmetische Methoden: Terme, die geometrische Zusammenhänge beschreiben, können umgeformt werden, auch wenn (Zwischen-)Ergebnisse keine geometrische Interpretation mehr haben.

Flächengleichheit bei Verformung: Wird eine Form geschert, so ändert sich ihre Fläche nicht.

Auf den nächsten Seiten wird zu jedem Prinzip beziehungsweise zu jeder Methode exemplarisch ein Beweis ausgeführt.

Wieso beweist man in der Mathematik?

Ein mathematischer Satz hat zumeist die folgende Struktur: Unter dem Zusammentreffen bestimmter (formalisierter) Voraussetzungen wird behauptet, dass eine weitere Aussage zutrifft. Im Fall des Satzes des Pythagoras ist die Voraussetzung, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Die Folgerung ist, dann gilt $a^2+b^2=c^2$. Solche Behauptungen werden nicht selten zunächst empirisch, anhand von vielen Beispielen gefunden. Ein Beweis stellt nun sicher, dass diese Behauptung in jedem möglichen Fall wahr ist. Hierbei führt ein Beweis die Wahrheit der Behauptung auf eine Folge von logischen Schlüssen und einige als unverrückbar angenommene Wahrheiten (Axiome) zurück. Beweise erlauben es, immer wahre Aussagen herzustellen. Das Finden eines Beweises ist oftmals eine sehr kreative Tätigkeit.

Je nach Problemstellung kann das Auffinden eines Beweises sehr kompliziert sein. Eine mathematische Aussage, die zwar wahr zu sein scheint, aber für die noch kein Beweis gefunden ist, nennt man eine Vermutung. Viele dieser Vermutungen sind bis heute unbewiesen.

Kurz ein grober Überblick zur Theorie zum Thema Beweisen findet sich im Kapitel Beweisen und Argumentieren der Fachdidaktik. Auch das Beweisen im Unterricht greift die Fachdidaktik auf, wobei unter anderem die Phasen eines Beweisprozesses beschrieben werden und auf das Lehren des Beweisens eingegangen wird.