Wichtige Grundlage

Wie wir auf den nächsten Seiten sehen werden, hat der Satz des Pythagoras Beziehungen zu vielen weiteren Bereichen der Mathematik.

Längenberechnung: Oftmals können Längen von Strecken, die schräg im Koordinatensystem liegen, über den Satz des Pythagoras erschlossen werden. Dies kommt dann auch oft bei der Flächenberechnung zum Einsatz – z.B. wenn Seiten von Flächen nicht parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

Vektorgeometrie: Die Längenberechnung von Vektoren geht direkt auf den Satz des Pythagoras zurück. Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf höhere Dimensionen ist direkte Grundlage der Längendefinitionen in hochdimensionalen Vektorräumen.

Trigonometrie: Die Trigonometrie beschäftigt sich mit Zusammenhängen von Winkeln und Längen im Dreieck. Der Satz des Pythagoras stellt hier einen besonders interessanten Spezialfall dar. Auch Gleichungen für trigonometrische Funktionen, wie $sin(x)^2$ + $cos(x)^2$ = 1 haben ihren Ursprung im Satz des Pythagoras.

Pythagoreische Zahlentripel: Ganzzahlige Lösungen von $a^2$ + $b^2$ = $c^2$ nennt man pythagoreische Zahlentripel. Die Tatsache, dass es unendlich viele davon gibt, stellt einen ersten Satz in der Zahlentheorie dar, der weitreichende Konsequenzen hat. Zum Beispiel, dass rationale Punkte auf dem Einheitskreis eine dichte Teilmenge bilden.

Irrationale Zahlen: Eine Konsequenz des Satzes des Pythagoras ist die Tatsache, dass die Diagonale im Einheitsquadrat so groß sein muss, dass ihr Quadrat 2 ergibt. Eine solche Zahl ist nicht als Bruch darstellbar. Der Satz des Pythagoras führt somit zu einem ersten Konstruktionsprinzip irrationaler Zahlen.

Komplexe Zahlen: Wie bei Vektoren ergibt sich bei komplexen Zahlen die Formel für deren Betrag direkt aus dem Satz des Pythagoras. Auch hier mit weitreichenden Konsequenzen.

Beweisen: Für den Beweis zum Satz des Pythagoras gibt es viele Herangehensweisen. Er kann somit als Paradigma für viele Beweismethoden hergenommen werden. (Ein Weg, den wir hier auch beschreiten werden.) Das erste Buch von Euklids’ Elementen behandelt im Prinzip einen Beweis des Satzes des Pythagoras basierend auf elementargeometrischen Grundprinzipien.