Eigenschaften
(Forster, 2015; Lagrange 1770)
Es folgen nun zwei weniger bekannten Eigenschaften von Quadratzahlen, welche jedoch sehr interessant sind. Die erste von beiden ist sehr einfach zu beweisen und kann dementsprechend sehr gut in den Schulunterricht integriert werden.
Satz: Ist eine Zahl $a\in \mathbb N$ eine Quadratzahl, so ist die letzte Ziffer aus der Menge ${0, 1, 4, 5, 6, 9}$.
Beweis: Quadriert man $n=10x+y$ , so erhält man $n^2=100x^2+20xy+y^2$. Die letzte Ziffer von $n^2$ muss dann die letzte Ziffer von $y^2$ sein. Werden die Zahlen $0, \ldots, 9$ eingesetzt, lauten die Endziffern wie folgt:
| $y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Endziffer von $y^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Der Quadratsummensatz
Die zweite Eigenschaft beschäftigt sich mit der Frage, wie natürliche Zahlen als Summe von Quadratzahlen geschrieben werden können. Da der Beweis dafür sehr aufwendig ist, kann diese Frage nur explorativ in den Schulunterricht eingebracht werden.
Für die ersten natürlichen Zahlen ist es noch sehr einfach, diese als Summe von Quadratzahlen zu schreiben:
\[1=1^2\]
\[2=1^2 +1^2\]
\[3=1^2 +1^2+1^2\]
Nach der $3$ ist bereits zu erkennen, dass es Zahlen gibt, welche wenigstens als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden müssen:
\[4=2^2\]
\[5=2^2+1^2\]
\[6=2^2+1^2+1^2\]
\[7=2^2+1^2+1^2+1^2\]
Bereits bei der $7$ werden vier Quadratzahlen benötigt, um diese als Summe darstellen zu können. Bis hierhin gibt es an Quadratzahlen nur die $4$ und die $1$, welche kleiner als $7$ sind und damit für die Summe genutzt werden können. Es könnte sich die Vermutung ergeben, dass je größer die darzustellende Zahl ist, desto mehr Summanden benötigt werden.
Größere Zahlen wie
\[50=25+25 = 5^2 + 5^2\]
oder
\[50=49+1=7^2+1^2\]
kommen allerdings wieder mit weniger Quadratzahlen aus.
Erste Erkenntnis: Es zeigt sich zum einen, dass es natürliche Zahlen gibt, welche mit durchaus weniger als vier Quadratzahlen auskommen. Zum anderen wird ersichtlich, dass es Zahlen gibt, die auf mehrere Arten als Summe von Quadraten geschrieben werden können.
Lagrange hat 1770 gezeigt, dass jede ganze, positive Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. Der Beweis setzt sich mit Quaternionen, deren Teilbarkeitstheorie und weiteren Themen der höheren Mathematik auseinander. Im Buch Algorithmische Zahlentheorie von Otto Forster (2014) wird das Thema in §25 ausführlich behandelt.