Generierung von Quadratzahlen
Quadratzahlen können, wie auf der ersten Seite bereits beschrieben, durch das Quadrat einer Zahl gebildet werden. So folgt $Q_n = n^2$ für alle $n\in \mathbb{N}$.
Im Lehrvideo lädt der Lehrende neben einer kurzen Wiederholung die Lernenden ein, selbst zu überlegen, wie die Quadratzahlen noch generiert werden können.
Die dynamisch-interaktive Visualisierung zeigt – neben der ersten – die zweite Generierungsmöglichkeit der Quadratzahlen:
Anleitung: Auf die Piktogramme klicken, um verschiedene Generierungsmöglichkeiten zu erhalten. Den Schieberegler bewegen, um die Anzahl/Größe zu ändern.
Erläuterung: Wird der grüne Schieberegler von links nach rechts bewegt, so wird die nächstgrößere Quadratzahl gezeigt. Von einer Quadratzahl zur nächsten kommen jeweils die orangefarbenen Kugeln hinzu, dies entspricht jeweils der obersten Zeile und der rechten Spalte der Kugeln. Das blaue Quadrat ist das alte Quadrat der vorhergegangenen Quadratzahl. Wird der Regler beispielsweise auf die $9$ gesetzt geschieht Folgendes: Die Quadratzahl ist $ 9 = 3^2=4+ 5$. Die Quadratzahl $ 4$ ist vorher durch $ 4=2^2=1+3$ entstanden. Somit kann bei $ 9 = 3^2= 4+5$ die $ 4$ durch $(3+1)$ ersetzt werden. Man erhält also:
\[ Q_3=9 = 3^2= 1+3+5.\]
Derartiges Fortfahren lässt erkennen, dass eine Quadratzahl $ Q_n$ durch Aufsummieren der ersten $n$ ungeraden natürlichen Zahlen entsteht. Dementsprechend lässt sich vermuten, dass
\[ Q_n = \sum_{i=1}^{n}(2i-1)\]
gilt.
Um dies zu testen, kann $ n=3$ eingesetzt werden: $ Q_3 = \sum_{i=1}^{3}(2i-1)= 1+3+5=9 $.
Im zweiten Unterrichtsvideo löst der Lehrer die Situation auf.
Beweis der Vermutung
Um die Vermutung zum Satz zu machen, muss sie bewiesen werden. Der Lehrer versucht seine Lernenden zu motivieren, indem er eine Aufgabe daraus macht.
Die Aussage $n^2 = \sum_{i=1}^n (2i - 1)$ wird am einfachsten durch vollständige Induktion bewiesen:
Induktionsanfang: $ 1^2=\sum_{i=1}^{1}(2i-1)= 2\cdot 1-1=1 $.
Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$ unter der Annahme der Induktionsvorraussetzung $ Q_n =n^2= \sum_{i=1}^{n}(2i-1)$ folgt:
\[ Q_{n+1} =(n+1)^2\overset{\text{1. bin. Formel}}{=} n^2+2n+1\]
\[ \overset{(I.V.)}{=}\left( \sum_{i=1}^{n}(2i-1)\right)+2n+1\]
\[ =\left( \sum_{i=1}^{n}(2i-1)\right)+2(n+1)-1\]
\[ =\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1) = Q_{n+1}\]
Somit ist die Vermutung bewiesen. Der Satz wird auch unter dem Namen „Odd Number Theorem“ geführt.