Definition

Eine Quadratzahl entsteht, indem eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert wird, wie zu Beginn die 3636 betrachtet wurde. Beispielsweise ist die 81=99=9281=9\cdot 9=9^2 ebenfalls eine Quadratzahl.

Quadratzahlen Q1,Q2,,Qn,nNQ_1, Q_2, …, Q_n, n\in\mathbb{N} kann man sich als quadratisches Punktegitter vorstellen. Nachfolgende interaktive Visualisierung zeigt die Quadratzahlen von 00 bis 2525.


Anleitung: Den grünen Schieberegler in der Leiste hin und her bewegen.


Allgemein gilt für alle nNn\in\mathbb N:

Qn=n2.Q_n = n^2.

Also,

Q1=12=1Q_1=1^2 = 1

Q2=22=4Q_2 = 2^2=4

Q3=32=9Q_3= 3^2=9

Q4=42=16Q_4= 4^2=16

\vdots

Je nach Autor wird die 00 als mögicher Index ein- bzw. ausgeschlossen.

Wird ein Quadrat QnQ_n um 2n+12n+1 Kugeln vergrößert – also um die orangenen Kugeln im Bild unten – entsteht das neue Quadrat Qn+1Q_{n+1}, somit ist

Qn+1=Qn+2n+1Q_{n+1}=Q_{n}+2n+1


Anleitung: Den grünen Schieberegler in der Leiste hin und her bewegen. Oben die Art der Generierung auswählen durch Klick auf das entsprechende Piktogramm.


Dieses Ergebnis lässt sich auch direkt mit einer binomischen Formel bestimmen:

(n+1)2=n2+2n+1(n+1)^2=n^2+2n+1

Und in einer Multiplikationstafel sind die Quadratzahlen genau auf der Diagonalen zu finden:

Multiplikationstafel

Aufgaben dazu…

Aufgaben 1-2