Kettenbrüche

(Bundschuh, 2013; Gardner, 1966)

Als letzter Teil des Exkurses soll hier nun noch ein Thema ausgeführt werden, das verdeutlicht, welche Rolle die rationalen Zahlen als Teil der reellen Zahlen spielen. Als solches ist es nur für höhere Klassenstufen geeignet.

Zu Beginn des fachwissenschaftlichen Modulabschnitts wurde im Kontext des Natural Number Bias bereits die Dichte der rationalen Zahlen angesprochen: Zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere. Sind den Lernenden reelle Zahlen bekannt, kann diese Aussage erweitert werden.

Satz: Zwischen zwei beliebigen verschiedenen rationalen Zahlen liegt eine irrationale. Und zwischen zwei beliebigen verschiedenen irrationalen Zahlen liegt eine rationale.

Beweisskizze: Seien $x, y\in\mathbb{Q}$ und $x < y$. Dann ist $x + \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot (y - x)$ irrational und liegt echt zwischen ihnen; denn $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ist irrational und liegt echt zwischen $0$ und $1$. Seien nun $x, y\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ und $x < y$. Ihre Dezimalbruchentwicklungen können nicht vollständig übereinstimmen. Sei die von $x$ von der Form

$$x = a_0,\negthinspace a_1\cdots a_n b_1 b_2\cdots$$

und

$$y = a_0,\negthinspace a_1\cdots a_n c_1 c_2\cdots$$

mit passenden Ziffern $a_i, b_j, c_k$. Die Dezimalbruchentwicklungen stimmen also bis zur $n$-ten Stelle überein. Insbesondere ist $b_1 < c_1$ Dann ist die Zahl, die genauso anfängt, aber $\frac{b_1 + c_1}{2}$ als $(n+1)$-te Nachkommastelle hat, sprich $a_0,\negthinspace a_1\cdots a_n\left(\frac{b_1 + c_1}{2}\right)$, rational und liegt echt zwischen $x$ und $y$.

Dieser Satz zeigt, dass von den rationalen Zahlen auf reelle Zahlen geschlossen werden kann. Möglichkeiten gibt es dafür unzählige. Sie beruhen aber alle auf die eine Art oder andere Art auf der Tatsache, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen liegen und verwenden eine Art Grenzwertprozess. Das bekannteste Beispiel dafür dürften wohl Dezimalbrüche sein: Die unendliche Dezimalbruchentwicklung von einer reellen Zahl wie etwa $\pi$ ist eigentlich eine Kurzschreibweise für die konvergente Folge

$$3$$

$$3,\negthinspace 1$$

$$3,\negthinspace 14$$

$$3,\negthinspace 141$$

$$3,\negthinspace 1415$$

$$3,\negthinspace 14159$$

$$3,\negthinspace 141592$$

$$3,\negthinspace 1415926$$

$$3,\negthinspace 14159265$$

$$3,\negthinspace 141592653$$

$$…$$

Für eine gegebene reelle Zahl gibt es dabei unendlich viele rationale Folgen, die gegen sie konvergieren. Eine Frage, die bei der Betrachtung dieser Folgen aufkommen kann, ist, welche Folge die “beste” ist. Hierbei ist zu klären, wann eine Folge denn die “beste” sein soll. Eine Möglichkeit ist die folgende: Eine Folge rationaler Zahlen $\left(\frac{p_n}{q_n}\right)$ mit Grenzwert $x\in\mathbb{R}$ sei eine beste für diesen Grenzwert, wenn unter allen Brüchen mit Nenner $\leq q_n$ das Folgenglied $\frac{p_n}{q_n}$ derjenige Bruch ist, der am nächsten an $x$ liegt. In Formeln:

$$\forall\enspace a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}\enspace\text{ mit }\enspace b \leq q_n\enspace\text{ gilt }\enspace \left\lvert\frac{p_n}{q_n} - x\right\rvert \leq \left\lvert\frac{a}{b} - x\right\rvert.$$

Da es zwischen $\lfloor x\rfloor$ und $\lfloor x\rfloor + 1$ nur endlich viele Brüche mit nach oben beschränktem Nenner gibt, folgt daraus direkt, dass so eine Folge existieren muss. Wie aber findet man deren Folgenglieder?

Eine Möglichkeit stellen Kettenbrüche dar: Gegeben sei eine endliche Folge positiver ganzer Zahlen $a_1,…,a_n$ und eine ganze Zahl $a_0$. Dann ist der zugehörige (endliche) Kettenbruch definiert als

$$[a_0; a_1,…,a_n]\enspace :=\enspace a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}}.$$

Für eine unendliche Folge $\big(a_i\big)_{i=1}^\infty$ in $\mathbb{Z}+$ und $a_0\in\mathbb{Z}$ sei der zugehörige (unendliche) Kettenbruch definiert als die Folge

$$[a_0; a_1,…]\enspace :=\enspace \left( [a_0; a_1,…,a_n] \right)_{n=0}^\infty,$$

sprich als Folge endlicher Kettenbrüche

$$[a_0]$$

$$[a_0; a_1]$$

$$[a_0; a_1, a_2]$$

$$[a_0; a_1, a_2, a_3]$$

$$…$$

$$[a_0; a_1,…,a_n]$$

$$…$$

Ein Beispiel eines endlichen Kettenbruchs ist

$$[1;2,3,4]\enspace =\enspace 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}}$$

$$=\enspace 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{13}{4}}}$$

$$=\enspace 1 + \frac{1}{2 + \frac{4}{13}}$$

$$=\enspace 1 + \frac{1}{\frac{30}{13}}$$

$$=\enspace 1 + \frac{13}{30}\enspace =\enspace \frac{43}{30}.$$

Endliche Kettenbrüche sind tatsächlich einfach nur Brüche und deswegen nimmt jeder einen konkreten Wert in $\mathbb{Q}$ an. Unendliche Kettenbrüche haben als Folge keinen Wert, können aber konvergieren. Das tun sie in der Tat immer – aber im Allgemeinen nicht gegen eine rationale Zahl, sondern gegen eine reelle.

Satz:

Jeder unendliche Kettenbruch $[a_0; a_1,…]$ konvergiert gegen eine reelle Zahl $x$ und wir schreiben kurz $x = [a_0; a_1,…]$ anstatt $x = \lim_{n\to\infty} [a_0; a_1,…, a_n]$. Umgekehrt gibt es zu jeder reellen Zahl $x$ genau einen Kettenbruch $[a_0; a_1,…]$ mit $[a_0; a_1,…] = x$. Dieser wird Kettenbruchentwicklung von $x$ genannt. Eine reelle Zahl $x$ ist genau dann rational, wenn ihre Kettenbruchentwicklung endlich ist.

Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Bundschuh (2013).

Werden nun die endlichen Kettenbrüche in der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl betrachtet und deren rationale Werte konkret berechnet, entsteht eine Folge rationaler Zahlen. Diese ist nach obiger Definition eine beste für $x$. Das heißt, ist $\frac{p_n}{q_n}$ einer der Brüche, die aus der Kettenbruchentwicklung von $x$ kommen, und betrachtet man alle Brüche mit Nenner kleiner als $q_n$, so ist $\frac{p_n}{q_n}$ derjenige unter ihnen, der am nächsten an $x$ liegt. Diese Aussage kann folgendermaßen interpretiert werden: Kann man nur bis zu einer Genauigkeit von $\frac{1}{q_n}$ messen, liefert das Glied $\frac{p_n}{q_n}$ der Kettenbruchentwicklung die bestmögliche Approximation.

In der nachfolgenden interaktiven Visualisierung werden zu den auswählbaren irrationalen Zahlen die ersten paar Iterationen der Kettenbruchentwicklung gezeigt. Alle Brüche werden mit einem kleineren Nenner markiert und der endliche Kettenbruch selbst noch einmal durch einen Pfeil. Unter anderem steht auch schon die Zahl $\phi$ zur Auswahl. Sie ist durch eine Kettenbruchentwicklung gegeben, die nur aus Einsen besteht und wird weiter unten und in Aufgabe 11 noch einmal angesprochen.

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Anleitung: Wählen Sie über die vier Knöpfe eine nicht-rationale Zahl, die angenähert werden soll. Stellen Sie am Schieberegler unten den Nenner ein, zu dem der zugehörige Kettenbruch gezeigt werden soll. Vergrößern oder verkleinern am Regler unten rechts den Zahlenstrahl. Fahren Sie mit der Maus über einen eingezeichneten Bruch, um seinen Wert angezeigt zu bekommen.

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Diese Annäherungen können außergewöhnlich gut sein. So wurde z.B. jahrtausendelang die Abschätzung $\pi\approx\frac{22}{7} = [3;7]$ verwendet, um Umfang und Fläche von Kreisen zu berechnen. Es ist

$$\frac{22}{7} = 3.1428…\qquad\text{ und }\qquad\pi = 3.1415…$$

Der Unterschied beträgt also circa $0.0013$, was eine Abweichung von nur $0.04\%$ vom korrekten Wert darstellt. Möchte man also z.B. ein hölzernes Wagenrad mit Eisen beschlagen und hat das Rad einen Durchmesser von $1,\negthinspace 5\text{m}$, so ist die Länge des Eisenrings nur um $0.04\%\cdot 1,\negthinspace 5\text{m} = 0,\negthinspace 6\text{mm}$ zu lang, wenn die Annäherung statt dem korrekten Wert von $\pi$ zur Berechnung verwendet wird. Für fast alle Anwendungen im Handwerk ist das also mehr als präzise genug.

Um zu einer reellen Zahl $x$ die Kettenbruchentwicklung explizit zu finden, kann folgender Algorithmus verwendet werden:

1. Es ist $a_0 = \lfloor x\rfloor$.
2. Setze $r_1 = \frac{1}{x - a_0}$. Es gilt damit insbesondere $x = a_0 + \frac{1}{r_1}$.
3. Das wird iteriert: Wurde $r_k$ bereits gefunden, setze $a_k := \lfloor r_k\rfloor$ und $r_{k + 1} = \frac{1}{r_k - a_k}$. Es gilt also $r_k = a_k + \frac{1}{r_{k+1}}$ und damit rekursiv auch

$$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{r_k}}}.$$

1. Ist an irgendeiner Stelle $r_k$ ganzzahlig, so ist $a_k = r_k$ das letzte Folgeglied des nun endlichen Kettenbruchs und der Algorithmus muss beendet werden, da sonst $r_{k+1} = \frac{1}{0}$ wäre. Wird kein Rest ganzzahlig, entsteht ein unendlicher Kettenbruch.

Bei genauem Hinsehen kann man hier erkennen, dass dieser Algorithmus dieselben Rechenschritte durchführt wie der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers.

So ergeben sich z. B. für $x=\pi$ die folgenden ersten Elemente der Kettenbruchentwicklung:

• $a_0 = \lfloor \pi\rfloor = 3$ und $r_1 = \frac{1}{\pi - 3}\approx 7,\negthinspace 063$
• $a_1 = \lfloor r_1\rfloor = 7$ und $r_2 = \frac{1}{r_1- 7}\approx 15,\negthinspace 997$
• $a_2 = \lfloor r_2\rfloor = 15$ und $r_3 = \frac{1}{r_2- 15}\approx 1,\negthinspace 003$
• $a_3 = \lfloor r_2\rfloor = 1$ …

Somit sind die ersten vier Folgenglieder der Kettenbruchentwicklung gleich

$$[3]\enspace =\enspace 3,$$

$$[3;7]\enspace =\enspace 3 + \frac{1}{7}\enspace =\enspace \frac{22}{7},$$

$$[3;7,15]\enspace =\enspace 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}}\enspace =\enspace \frac{333}{106},$$

$$[3;7,15,1]\enspace =\enspace 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}}\enspace =\enspace \frac{355}{113}.$$

Es gibt noch unzählige weitere elementare Eigenschaften von Kettenbrüchen. So z.B. dass wenn ein Näherungsbruch für $x$ in der Kettenbruchentwicklung kleiner als $x$ ist, der nächste größer als $x$ ist und umgekehrt. Diese und weitere Aussagen finden sich ebenso in Bundschuh (2013). Hier soll noch eine dieser Aussagen erwähnt werden: In einer Kettenbruchentwicklung $x = [a_0; a_1, a_2,…]$ ist der Abstand des Näherungsbruchs $[a_0; a_1,…, a_n]$ zu $x$ umso größer, je kleiner $a_n$ ist. Da alle Einträge, vom nullten abgesehen, positive ganze Zahlen sind, haben sie immer besonders großen Abstand, wenn viele Einträge gleich $1$ sind. So stellen Kettenbrüche zwar allgemein eine sehr gute Methode dar, reelle Zahlen durch rationale zu approximieren, aber es gibt reelle Zahlen, die sich besonders schlecht annähern lassen. Diese werden nobel genannt und ihr prototypischer Vertreter ist $\phi:=[1;1,1,1,1,1,1,1,…]$; was oft auch kurz $[1;\overline{1}]$ geschrieben wird. Welche Zahl dies genau ist, wird in Aufgabe 11 näher untersucht.

Aufgabe dazu …

Aufgabe 11

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