Quadrat- und Dreieckszahlen aus didaktischer Sicht
Bezug zu den Bildungsstandards
Leitidee
Das Thema Dreiecks- und Quadratzahlen folgt eindeutig der Leitidee Algorithmus und Zahl (L1). Ein Merkmal ist zum Beispiel, dass eine Grundvorstellung der natürlichen Zahlen für das Verständnis der Polygonalzahlen notwendig ist. Wichtig hierbei ist, sich ins Gedächtnis zurückzurufen, dass es verschiedene Zahlenaspekte gibt. (Kardinal- ,Ordinal-, Rechen-, Maß-, Kodierungs- und Operatorzahlen.) In der Grundschule besitzen Kinder noch die die Vorstellung, das die natürlichen Zahlen Kardinalzahlen sind, sie geben also eine Mächtigkeit an, wie etwa 3 Gummibärchen, 10 Autos etc. In der Oberstufe haben viele Lernende dieses Bild als Grundvorstellung aus den Augen verloren und sehen nur noch den Rechenzahlaspekt hinter den vielen Ziffern. Deshalb ist es mit Sicherheit vorteilhaft die Schülerinnen und Schüler zu Beginn die Quadratzahlen mit einem Hilfsmittel ihrer Wahl visualisieren zu lassen. Dabei sind Zählsteine wohl die einfachste Variante, um diese figurierten Zahlen bildlich auf Papier zu bringen, aber auch Stifte, Stühle oder Ähnliches in der Schule können einer Visualisierung dienlich sein. Arbeitet man wieder mit dieser ehemaligen Grundvorstellung, so ist es für die SchülerInnen unter Umständen sogar möglich sich selbständig zu erschließen, wie Dreieckszahlen, Fünfeckszahlen und natürlich alle weiteren beliebigen Polygonalzahlen aussehen.
W-Seminar Induktion
Eine Idee für das W-Seminar ist den Schülerinnen und Schüler das Konzept der Induktion zu vermitteln. Mit diesem mathematischen Werkzeug können Lernende dann selbstständig Formeln wie $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ beweisen. Nachdem man Polygonalzahlen über Summen erhält und diese Summe aber auch als eine kompakte Berechnungsformel festhalten können möchte, ist eine Induktionsaufgabe für die Seminararbeit mehrerer Schülerinnen und Schüler möglich.
Beispiele für Induktionen in der Seminararbeit
- Für die $n$-te Quadratzahl gilt: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2}$
- Für die $n$-te Pyramidenzahl gilt: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
- Für die $n$-te Dreieckszahl gilt: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}$
- Für die $n$-te Tetraederzahl gilt: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}D_k=\binom{n+2}{3}}$
- Für die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen gilt: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}$
Dies fördert die Kompetenz des mathematischen Argumentierens (K1). Außerdem kann die Kompetenz Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen (K5) trainiert werden. Schülerinnen und Schüler lernen hier zum Beispiel einen sichereren Umgang mit dem Summenzeichen. Bei guten Kursen ist es auch möglich den Umgang mit Quantoren und Junktoren zu trainieren; beispielsweise indem man mit den Lernenden die formale Definition der Induktion bespricht.
Sei $E(n)$ eine Eigenschaft natürlicher Zahlen. Dann gilt:
\[E(0)\land E(n)(E(n)\rightarrow E(n+1))\rightarrow\forall E(n)\]
Probleme mathematisch lösen (K2)
Wir haben ein Problem, welches wir mit bisherigen Algorithmen nicht lösen können. Ein Beispiel wäre die Flächenberechnung, die ein beliebiger Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt. Während Abiturienten ohne nachzudenken das bestimmte Integral berechnen (Leitidee Algorithmus und Zahl, sowie Leitidee funktionaler Zusammenhang), stehen Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe vor einem ihnen scheinbar nicht lösbaren Problem (Leitidee Probleme mathematisch lösen). An dieser Stelle ist Kreativität gefragt. Bereits Schülerinnen und Schüler der sechsten Jahrgangsstufe können viele unterschiedlich große Rechtecke in die zu berechnende Fläche einzeichnen und damit einen Näherungswert bestimmen. Für Problemlösestrategien gibt es leider kein universelles Rezept, weswegen das trainieren dieser Kompetenz sehr wichtig ist.
Bei dem Thema Dreieckszahlen könnte man dann folgende Aufgabe geben.
Für kleine Dreieckszahlen ist Berechnung über das aufaddieren der natürlichen Zahlen relativ unproblematisch, aber was ist wenn wir die 100. Dreieckszahl bestimmen wollen. Ermittle eine allgemeine Berechnungsformel für die $n$-te Dreieckszahl.
Wie viele Dreieckszahlen muss man aufsummieren, um eine beliebige natürliche Zahl darzustellen?
Wie viele Quadratzahlen muss man aufsummieren, um eine beliebige natürliche Zahl darzustellen?
Wie viele Kubikzahlen muss man aufsummieren, um eine beliebige natürliche Zahl darzustellen?
Weitere W-Seminar Ideen
Ein Seminar könnte lauten: Heurismen. Die Aufgabe des Lehrenden ist es, die Schülerinnen und Schüler mit heuristischen Verfahren vertraut zu machen. Dies fördert die mathematische Kompetenz der Problemlösefähigkeit. Zusätzlich wird Fantasie, Kreativität und die Entwicklung algebraischen Denkens geschult. Um den Bezug zu den Polygonalzahlen zu schaffen, kann man den Lernenden die Aufgabe geben einen möglichen Zusammenhang zwischen verschiedenen figurierten Zahlen zu finden, wie etwa: Besteht ein Zusammenhang zwischen den Quadrat und Dreieckszahlen, wenn ja welcher? Durch dieses eigenständige Entdecken der vielen figurierten Zahlen kann in den Schülerinnen und Schüler ein “Heureka-Erlebnis” geweckt werden, wie es schon bei Gauß mit seiner berühmten Formel $\triangle+\triangle+\triangle=n$ der Fall war.
Außerdem ist ein W-Seminar über den sehr weit gefächerten Bereich Zahlentheorie möglich. Hier lassen sich Themen wie Dreiecks- und Quadratzahlen sehr schön einbauen oder als Thema für eine Seminararbeit verwenden. Weitere Themengebiete, die behandelt werden können sind zum Beispiel die Fibonacci-Zahlen, Primzahlen, das Pascalsche Dreieck oder eventuell das Prinzip der vollständigen Induktion, falls man dies nicht wie vorher erwähnt als komplettes Seminar anbieten möchte.