Das Ergebnis für $n$ Gäste ist die $(n-1)$-te Dreieckszahl. D.h. bei $20$ Gästen wird $190$-mal Hände geschüttelt. Der Beweis davon sieht wie folgt aus: Der erste Gast schüttelt allen $n-1$ anderen die Hand. Der zweite Gast schüttelt auch allen die Hand, kann sich aber den ersten Gast sparen. Es bleiben ihm oder ihr noch $n-2$. Für den dritten Gast sind es dann nur noch $n-3$. Das geht so weiter bis zum vorletzten Gast, der noch $n-(n-1)=1$ mal Hände schütteln muss. Der letzte Gast wurde schon von allen anderen begrüßt und muss keine Hände mehr schütteln. Es ergeben sich insgesamt $$(n-1) + (n-2) + (n-3) +\cdots + 1 + 0 = \sum_{i=1}^{n-1}i=D_{n-1}$$ Händeschütteleien.

• $1$ Gerade $\to$ kein Schnittpunkt
• $2$ Geraden $\to$ maximal $1$ Schnittpunkt
• $3$ Geraden $\to$ maximal $3$ Schnittpunkte
• $4$ Geraden $\to$ maximal $6$ Schnittpunkte
• $5$ Geraden $\to$ maximal $10$ Schnittpunkte
• $\ldots$

Man erkennt, dass sich die Folge der Dreieckszahlen ergibt, d.h. $n$ Geraden haben maximal so viele Schnittpunkte, wie die $(n-1)$-te Dreieckszahl. Der Beweis dafür funktioniert genauso, wie bei Aufgabe 1.

Hier ist die Idee, die Lösung aus Aufgabe 2 zu nehmen und umzukehren: Wenn wir mit $n$ Geraden maximal $D_{n-1}$ Schnittpunkte erzeugen können, heißt das, dass wir minimal $n$ Geraden brauchen, um $D_{n-1}$ Schnittpunkte zu bekommen.

Nutzen wir die Gaußsche Summenformel zu Berechnung von $D_{n-1}$ erhalten wir die Gleichung. $$105=D_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$$ Auflösen der Gleichung ergibt, dass mindestens 15 Geraden benötigt werden.