Fachwissenschaft Mathematik: Anwendungsbeispiele
Hier sollen ein paar Anregungen gegeben werden, um das Thema Dreieckszahlen in der Schule vorzustellen.
Aufgabe 1
Bei einer Party sind 20 Gäste, die sich alle mit Handschlag begrüßen. Wie oft werden insgesamt Hände geschüttelt? Wie oft, wenn es 10 Gäste sind; wie oft bei 25 Gästen? Finden Sie eine allgemeine Lösung für $n$ Gäste.
Das Ergebnis für $n$ Gäste ist die $(n-1)$-te Dreieckszahl. D.h. bei $20$ Gästen wird $190$-mal Hände geschüttelt. Der Beweis davon sieht wie folgt aus: Der erste Gast schüttelt allen $n-1$ anderen die Hand. Der zweite Gast schüttelt auch allen die Hand, kann sich aber den ersten Gast sparen. Es bleiben ihm oder ihr noch $n-2$. Für den dritten Gast sind es dann nur noch $n-3$. Das geht so weiter bis zum vorletzten Gast, der noch $n-(n-1)=1$ mal Hände schütteln muss. Der letzte Gast wurde schon von allen anderen begrüßt und muss keine Hände mehr schütteln. Es ergeben sich insgesamt $$(n-1) + (n-2) + (n-3) +\cdots + 1 + 0 = \sum_{i=1}^{n-1}i=D_{n-1}$$ Händeschütteleien.
Aufgabe 2
Gegeben seien 10 Geraden in der Ebene. Wie viele Schnittpunkte kann es zwischen ihnen maximal geben? Um die Aufgabe leichter lösen zu können, sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst eine Tabelle erstellen, in der sie vermerken, wie viele Schnittpunkte es maximal gibt, wenn nur $1,2,3,4,5… $ Geraden betrachtet werden.
- $1$ Gerade $\to$ kein Schnittpunkt
- $2$ Geraden $\to$ maximal $1$ Schnittpunkt
- $3$ Geraden $\to$ maximal $3$ Schnittpunkte
- $4$ Geraden $\to$ maximal $6$ Schnittpunkte
- $5$ Geraden $\to$ maximal $10$ Schnittpunkte
- $\ldots$
Man erkennt, dass sich die Folge der Dreieckszahlen ergibt, d.h. $n$ Geraden haben maximal so viele Schnittpunkte, wie die $(n-1)$-te Dreieckszahl. Der Beweis dafür funktioniert genauso, wie bei Aufgabe 1.
Aufgabe 3
Wie viele Geraden muss man mindestens in die Ebene zeichnen, um 105 Schnittpunkte zu erhalten?
Hier ist die Idee, die Lösung aus Aufgabe 2 zu nehmen und umzukehren: Wenn wir mit $n$ Geraden maximal $D_{n-1}$ Schnittpunkte erzeugen können, heißt das, dass wir minimal $n$ Geraden brauchen, um $D_{n-1}$ Schnittpunkte zu bekommen.
Nutzen wir die Gaußsche Summenformel zu Berechnung von $D_{n-1}$ erhalten wir die Gleichung. $$105=D_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$$ Auflösen der Gleichung ergibt, dass mindestens 15 Geraden benötigt werden.