Dreieckszahlen und Kubikzahlen

Zwischen den Kubikzahlen $W_n$ und den Dreieckszahlen $D_n$ gibt es ebenfalls einen Zusammenhang. Addieren der ersten $n$ Kubikzahlen, liefert die $n$-te Dreieckszahl im Quadrat. Als Formel:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}W_k=D_n^2}\]

\[\displaystyle{\Leftrightarrow}\]

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\]

Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.

Beweis

Zu zeigen ist, dass $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt.

Induktionsanfang. Für $n=1$ gilt:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{1}k^3=1^3=1=\frac{1+1}{2}=\frac{1(1+1)}{2}=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2}\]

Induktionsschritt. $n\rightarrow n+1$

Zu zeigen ist, dass

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2}\]

gilt. Dies gelingt mithilfe der Induktionsvoraussetzung

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\]

Damit der Beweis etwas übersichtlicher wird, wird zunächst der Term $((n+1)(n+2))^2$ ausmultipliziert:

\[((n+1)(n+2))^2=(n^2+3n+2)^2=n^4+6n^3+13n^2+12n+4\tag{$*$}\]

Es gilt

\[\sum_{k=1}^{n+1}W_k=\sum_{k=1}^{n+1}k^3\]

\[=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3}\]

\[\overset{I.V.}{=} \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3\]

\[=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}\]

\[=\frac{n^2(n^2+2n+1)+4(n^3+3n^2+3n^+1)}{4}\]

\[=\frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}\]

\[=\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}\]

\[\overset{(*)}{=}\frac{((n+1)(n+2))^2}{4}\]

\[=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2=D_{n+1}^2\]

Womit die Aussage bewiesen ist.