Quadratzahlen und Pyramidenzahlen

Addieren der ersten $n$ Quadratzahlen, liefert die $n$-te Pyramidenzahl. Somit ist:

\[\sum_{k=1}^{n}k^2 =1^2+2^2+…+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Der Beweis erfolgt durch Induktion.

Beweis

Induktionsanfang. Für $n=1$ gilt:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{1}k^2=1^2=\frac{6}{6}=\frac{2 \cdot 3}{6}=\frac{(1+1)((2+1)}{6}=\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}}\]

Induktionsschritt. $n \rightarrow n+1$

Zu zeigen:

\[\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\]

Wobei für die Induktionsvoraussetzung (I.V.) gilt:

\[\sum_{k=1}^{n}k^2 =1^2+2^2+…+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Zunächst multiplizieren wir den Term im Zähler aus:

\[(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)\]

\[=(n^2+2n+n+2)(2n+2+1)\]

\[=(n^2+3n+2)(2n+3)\]

\[=2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6\]

\[=2n^3+9n^2+13n+6 ~~~(*)\]

Es gilt:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}k^2}\]

\[=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2}\]

\[\overset{I.V.}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}\]

\[=\frac{(n^2+n)(2n+1)+6n^2+12n+6}{6}\]

\[=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\]

\[\overset{(*)}{=}\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\]

Somit ergibt sich für die ersten Pyramidenzahlen

\[\text{Für }n=0\text{ gilt } \frac{0(0+1)(2\cdot0+1)}{6}=0\]

\[\text{Für }n=1\text{ gilt } \frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=1\]

\[\text{Für }n=2\text{ gilt } \frac{2(2+1)(2\cdot2+1)}{6}=5\]

\[\text{Für }n=3\text{ gilt } \frac{3(3+1)(2\cdot3+1)}{6}=14\]

\[\text{Für }n=4\text{ gilt } \frac{4(4+1)(2\cdot4+1)}{6}=30\]

Weitere Informationen zu figurierten Zahlen finden Sie in (Ziegenbalg, 2018).