Quadratzahlen und Dreieckszahlen

Eine Quadratzahl kann auch als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen geschrieben werden:

$$Q_n = D_n+D_{n-1}$$

Wobei

$$D_n+D_{n-1}=D_n+D_n-n$$

Beweis

Zu zeigen ist, dass

$$Q_n=D_n+D_{n-1}.$$

Nach Definition gilt $D_n=\frac{n(n+1)}{2}$. D.h.

$$D_n+D_{n-1}$$

$$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$$

$$=\frac{n(n+1)+(n-1)n}{2}$$

$$=\frac{2n^2}{2}$$

$$=n^2$$

Wobei $n^2$ laut Definition die $n-$te Quadratzahl $Q_n$ ist . Und somit ist $Q_n = D_n + D_{n-1}$ wie gewünscht.

Beispiele

Für $n=2$ gilt:

$$D_2+D_{2-1}= D_2+D_2-2=3+3-2=4=2^2=Q_2$$

Für $n=3$ gilt:

$$D_3+D_{3-1}= D_3+D_3-3=6+6-3=9=3^2=Q_3$$

$$\vdots$$

Für $n=8$ gilt:

$$D_8+D_{8-1}= D_8+D_8-8=36+36-8=64=812=Q_8$$

$$\vdots$$

Aufgabe dazu…

Aufgabe 6