Quadratzahlen und Dreieckszahlen

Eine Quadratzahl kann auch als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen geschrieben werden:

Qn=Dn+Dn1Q_n = D_n+D_{n-1}

Wobei

Dn+Dn1=Dn+Dnn D_n+D_{n-1}=D_n+D_n-n

Beweis

Zu zeigen ist, dass

Qn=Dn+Dn1.Q_n=D_n+D_{n-1}.

Nach Definition gilt Dn=n(n+1)2D_n=\frac{n(n+1)}{2}. D.h.

Dn+Dn1D_n+D_{n-1}

=n(n+1)2+(n1)(n1+1)2=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}

=n(n+1)+(n1)n2=\frac{n(n+1)+(n-1)n}{2}

=2n22=\frac{2n^2}{2}

=n2=n^2

Wobei n2n^2 laut Definition die nn-te Quadratzahl QnQ_n ist . Und somit ist Qn=Dn+Dn1Q_n = D_n + D_{n-1} wie gewünscht.

Beispiele

Für n=2n=2 gilt:

D2+D21=D2+D22=3+32=4=22=Q2D_2+D_{2-1}= D_2+D_2-2=3+3-2=4=2^2=Q_2

Für n=3n=3 gilt:

D3+D31=D3+D33=6+63=9=32=Q3D_3+D_{3-1}= D_3+D_3-3=6+6-3=9=3^2=Q_3

\vdots

Für n=8n=8 gilt:

D8+D81=D8+D88=36+368=64=812=Q8D_8+D_{8-1}= D_8+D_8-8=36+36-8=64=812=Q_8

\vdots

Aufgabe dazu…

Aufgabe 6