Quadratzahlen und Dreieckszahlen
Eine Quadratzahl kann auch als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen geschrieben werden:
\[Q_n = D_n+D_{n-1}\]
Wobei
\[ D_n+D_{n-1}=D_n+D_n-n\]
Beweis
Zu zeigen ist, dass
\[Q_n=D_n+D_{n-1}.\]
Nach Definition gilt $D_n=\frac{n(n+1)}{2}$. D.h.
\[D_n+D_{n-1}\]
\[=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}\]
\[=\frac{n(n+1)+(n-1)n}{2}\]
\[=\frac{2n^2}{2}\]
\[=n^2\]
Wobei $n^2$ laut Definition die $n-$te Quadratzahl $Q_n$ ist . Und somit ist $Q_n = D_n + D_{n-1}$ wie gewünscht.
Beispiele
Für $n=2$ gilt:
\[D_2+D_{2-1}= D_2+D_2-2=3+3-2=4=2^2=Q_2\]
Für $n=3$ gilt:
\[D_3+D_{3-1}= D_3+D_3-3=6+6-3=9=3^2=Q_3\]
\[\vdots\]
Für $n=8$ gilt:
\[D_8+D_{8-1}= D_8+D_8-8=36+36-8=64=812=Q_8\]
\[\vdots\]