Pyramidenzahlen

Werden die ersten $n$ Quadratzahlen addiert, so entsteht die $n$-te Pyramidenzahl $P_n$. Der Name kommt daher, dass die Quadratzahlen bildlich der Größe nach gestapelt werden, wobei die größte Quadratzahl unten liegt.

Die Summe über die Quadratzahlen wird wie folgt berechnet:

\[P_n=\sum_{k=1}^{n}k^2 =1^2+2^2+…+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Der Beweis erfolgt durch Induktion.

Beweis

Induktionsanfang. Für $n=1$ gilt:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{1}k^2=1^2=\frac{6}{6}=\frac{2 \cdot 3}{6}}\]

\[=\frac{(1+1)(2+1)}{6}=\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}\]

Induktionsschritt. $n \rightarrow n+1$

Zu zeigen:

\[\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\]

Wobei für die Induktionsvoraussetzung (I.V.) gilt:

\[\sum_{k=1}^{n}k^2 =1^2+2^2+…+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Zunächst multiplizieren wir den Term im Zähler aus:

\[(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=2n^3+9n^2+13n+6\tag{$*$}\]

Es gilt:

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}k^2}\]

\[=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2}\]

\[\overset{I.V.}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}\]

\[=\frac{(n^2+n)(2n+1)+6n^2+12n+6}{6}\]

\[=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\]

\[\overset{(*)}{=}\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\]

Somit ergibt sich für die ersten Pyramidenzahlen

\[n=0:\qquad \frac{0\cdot(0+1)\cdot(2\cdot0+1)}{6}=0\]

\[n=1:\qquad \frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=1\]

\[n=2:\qquad \frac{2\cdot(2+1)\cdot(2\cdot2+1)}{6}=5\]

\[n=3:\qquad \frac{3\cdot(3+1)\cdot(2\cdot3+1)}{6}=14\]

\[n=4:\qquad \frac{4\cdot(4+1)\cdot(2\cdot4+1)}{6}=30\]

\[\vdots\]