Eigenschaften
(Dickson, 1939; Gauss, 1801)
Im Folgenden wird eine Frage betrachtet, die schon bei Quadratzahlen aufgetreten ist: Wie viele Dreieckszahlen werden benötigt, um jede natürliche Zahl als deren Summe darstellen zu können?
Die Tatsache, dass jede beliebige natürliche Zahl mithilfe einer Summe von maximal drei Dreieckszahlen dargestellt werden kann, lässt sich auf Fermat bzw. auf Gauß zurückführen.
Carl Friedrich Gauß schrieb in seinem mathematischen Tagebuch am 10. Juli 1796 die Zeile:
EYPHKA heißt übersetzt Heureka und soll signalisieren, dass soeben etwas entdeckt wurde, quasi ein Ausruf für wissenschaftliches Erstaunen. Salopp gesagt bedeutet es soviel wie: Ich habe es herausgefunden. Die Vermutung hierfür ist wohl auf Fermat zurückzuführen, wohingegen Gauß (1886) die Vermutung bewiesen hat. Eine Beweisskizze inklusive Historie finden Sie am unteren Ende dieser Seite.
Wie sich später herausstellt, lässt sich der Satz verallgemeinern, so heißt dieser:
Jede beliebige natürliche Zahl lässt sich mit Hilfe einer Summe von maximal $k$ Stück $k$-Eckszahlen mit $k\in\mathbb{N}$ darstellen.
Das Problem hierbei ist, dass die Definition von allgemeinen $k$-Eckszahlen für $k>4$ nicht mehr kanonisch oder offensichtlich ist. Deswegen wird diese allgmeine Form im weiteren nicht behandelt.
Weitere Eigenschaften
Nachfolgende Eigenschaften oder Fragen werden hier ohne weiteren Kommentar aufgeführt und sollen zum selbständigen Denken oder zur gemeinsamen Diskussion anregen. Sie werden teilweise schon im Text angesprochen.
- Was passiert mit der Gaußschen Summenformel für ungerades $n\in\mathbb N$?
- Auf einer Party sind 20 Gäste. Jeder Gast begrüßt jeden anderen Gast mit einem Händeschütteln. Wieviele Hände werden geschüttelt? Was hat dieses Handschlagproblem mit den Dreieckszahlen zu tun?
- Keine Dreieckszahl $D_n >3$ ist eine Primzahl. Woran liegt das?
- Was passiert, wenn zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen im Quadrat jeweils subtrahiert werden? Beispielsweise mit $D_5$ und $D_6$: $(D_6)^2-(D_5)^2=21-15=7$ usw. Ist hier ein Schema zu erkennen?
Folgender Beweis geht weit über das Schulwissen hinaus und ist lediglich für den interessierten Leser gedacht.
Beweisgeschichte und -skizze
An dem Problem, natürliche Zahlen als Summe von Dreieckszahlen zu schreiben, haben sich Fermat und Gauß längere Zeit die Zähne ausgebissen. Der Beweis dafür ist sehr kompliziert und allein die Tatsache, dass Gauß es als sinnvoll erachtete, ihn mit einem Tagebucheintrag zu würdigen spricht dafür, dass ihn dieses Thema länger beschäftigt hat. Der Beweis selbst ist nicht konstruktiv. Das bedeutet, dass es leider nicht möglich ist für jede Zahl die passenden drei Dreieckszahlen explizit anzugeben.
Der folgende Beweis ist nicht vollständig. Es werden wichtige Resultate als gegeben vorausgesetzt und die jeweiligen Quellen angegeben, wenn man deren Beweise nachlesen will.
Vorgeschichte: Gauß bewies eigentlich nicht, dass jede Zahl als Summe von drei Dreieckszahlen darstellbar ist. Er hat sich mit der Frage beschäftigt, wann eine Zahl als Summe dreier Quadratzahlen darstellbar ist (siehe auch 4-Quadrate-Satz), daraus ergab sich praktisch als Nebenprodukt der Beweis für die Dreieckszahlen.
Vorreiter war Adrien-Marie Legendre, der die Vermutung hatte, dass man eine natürliche Zahl $n$ genau dann als Summe (höchstens) dreier Quadratzahlen schreiben kann, wenn es keine ganzen Zahlen $i$ und $j$ gibt, sodass $n=4^i(8j+7)$ gilt. Legendre versuchte den Beweis, hatte aber 1798 das Problem ihn zu vervollständigen. Gauß schaffte es den sogenannten Drei-Quadrate-Satz zu beweisen und veröffentlichte den Beweis 1801 in Disquisitiones Arithmeticae, der besagt:
Eine positive ganze Zahl $n$ ist genau dann Summe dreier Quadratzahlen,
\[n=x_1^2+x_2^2+x_3^2, x_i\in\mathbb{Z},\]
| wenn $n\neq 4^km$ mit $4 | \not m$ und $m\not\equiv 7 \mathrm{ mod } 8$ was gleichbedeutend mit $n \neq 4^i(8j+7)$ ist. |
Diese Aussage sei als gegeben vorausgesetzt. Für einen Beweis sei auf Dickson, 1939 (S. 93-96) verwiesen. Der Beweis ist nicht trivial und benötigt als wesentlichen Baustein den Dirichletschen Primzahlsatz.
Beweisskizze: Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist auch $r:=8n+3$ eine natürliche Zahl. Insbesondere ist $r\equiv 3\mod 8$. Um $r$ nun als Summe von drei Quadratzahlen schreiben zu können, muss gezeigt werden, dass es keine ganzzahligen $i$ und $j$ gibt, sodass $r=4^i(8j+7)$ gilt. Dies wird durch Widerspruch bewiesen:
Angenommen es gibt solche $i$ und $j$, dann muss auch $4^i(8j+7) \equiv 3\mod 8$ gelten. Offenbar gilt aber
$4\equiv 4\mod 8 \quad , \quad 8\equiv 0\mod 8 \quad , \quad 7\equiv -1\mod 8$
und damit:
$4^i(8j+7) \equiv 3\mod 8 \quad \Longleftrightarrow \quad -4^i \equiv 3 \mod 8$
was ein Widerspruch ist, da $-4^i$ für alle $i$ immer den Rest 4 oder 0 hat mit 8, niemals aber 3. Also kann es keine ganzzahligen $i$ und $j$ geben, sodass $r=4^i(8j-3)$ gilt.
Damit ist der Drei-Quadrate-Satz anwendbar und es gibt drei ganze Zahlen, sodass $r$ die Summe aus deren Quadrate ist. Diese drei Zahlen müssen ungerade sein, da es mit einer oder mehr ungeraden Zahlen unmöglich ist in Summe eine Zahl zu erhalten, die Rest $3$ modulo $8$ hat. Es gibt also ganze Zahlen $a,b,c$ mit
\[r=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2 \]
\[=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1\]
\[ \Longrightarrow r=4(a(a+1)+b(b+1)+c(c+1))+3 \]
\[ \Longleftrightarrow\quad 8n+3=4(a(a+1)+b(b+1)+c(c+1))+3\]
\[\Longleftrightarrow\quad n=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2}=D_a+D_b+D_c\]
Und damit endet der Beweis.