Arithmetische Methoden

Bei arithmetischen Methoden werden einfache, geometrische Ansätze in Terme und Formeln übersetzt und die Korrektheit, der zu untersuchenden Aussage, durch arithmetische Umformungen dieser Terme erreicht.

Die nachfolgende Visualisierung illustriert die zugrunde liegende Struktur eines speziellen arithmetischen Beweises. Die Grundidee ist, dass nach einer einfachen geometrischen Überlegung, der Rest des Beweises rein rechnerisch durch Umformen von Gleichungen erfolgt. Wir betrachten das Hypotenusenquadrat $c^2$ und legen zunächst vier Kopien des rechtwinkligen Dreiecks, wie es im rechten Dreieck der Fall ist, rein. Da sich die beiden Winkel an den Ecken der Hypotenuse zu 90° aufaddieren geht dies genauso auf, dass in der Mitte noch ein kleines freies Quadrat übrig bleibt. Ist $b$ länger als $a$, so hat dieses kleine Quadrat genau die Länge $b-a$. Falls $a$ größer $b$ ist ergibt sich ein Länge von $a-b$. In beiden Fällen ist der Flächeninhalt des mittleren Quadrates gleich $(b-a)^2$, denn durch das Quadrieren bei der Flächenberechnung ist das Vorzeichen egal. Der Rest des Beweises erfolgt nun rein rechnerisch.

Anleitung: Die Dreiecksspitze (weißer Punkt) in der linken Figur hin und her bewegen.

Das Ausgangsquadrat mit Seitenlänge $c$ hat einen Flächeninhalt von $c^2$. In dieses Quadrat wurden nun vier zum Ausgangsdreieck kongruente Dreiecke “eingeklappt”. Das in der Mitte entstehende Quadrat hat, wie oben erklärt, die Seitenlänge $\pm(b-a)$. Es ergibt sich also für die Fläche $c^2$ die Formel

\[c^2=4\frac{ab}{2}+(b-a)^2.\]

Der Rest ergibt sich durch Ausmultiplizieren:

\[c^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2\]

Womit der Satz des Pythagoras bewiesen ist.