Prinzip der Ergänzungsgleichheit

Ein geometrischer Beweis ergibt sich aus der zweifachen Berechnung eines Quadrates der Länge $(a+b)$. Das unten stehende Applet zeigt links den bekannten Pythagorassatz und rechts eine Möglichkeit, die kleinen Quadrate zu einem Quadrat der Länge $(a+b)$ zu ergänzen; mithilfe von vier Dreiecken, die alle um das Ausgangsdreieck kongruent sind. Wird der Regler nach oben bewegt, verrutschen die Dreiecke an eine andere Stelle im Quadrat. Das Quadrat der Länge $c$ erscheint, wobei die Größe des Quadrats der Länge $(a+b)$ sich bei der Operation nicht verändert hat und somit flächeninhaltsgleich erhalten bleibt. Während des ganzen Prozesses bleibt die Fläche des einschließenden Quadrats und die Fläche der vier kleinen Dreiecke unverändert. Also muss auch die verbleibende Fläche im einschließenden Quadrat abzüglich der kleinen Dreiecke unverändert bleiben. Zu Anfang ist diese Fläche $a^2+b^2$, am Ende ist sie $c^2$.

Anleitung: Den weißen Punkt in der linken Figur hin und her bewegen. Den Schieberegler auf der rechten Seite von untern nach oben schieben.

Zusatzüberlegung

Die Fläche der ersten Figur kann wie folgt berechnet werden:

\[(a+b)^2=a^2+b^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot ab\]

Hierbei ergibt sich der rechte Teil der Gleichung aus der angegebenen Zerlegung.

Betrachten wir nun die zweite Figur:

\[(a+b)^2=c^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot ab\]

Auch hier ergibt sich der rechte Teil der Gleichung aus der Zerlegung. Nutzt man die Gleichheit beider Terme aus, erhält man:

\[a^2+b^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot ab=c^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot ab\]

\[\Rightarrow a^2+b^2=c^2 \]