Biologie/Mathematik

Auf dieser Seite finden Sie eine kleine Auswahl an Aufgaben für den Schulunterricht, mithilfe derer vor allem an Exponentialfunktionen herangeführt werden soll.

Als Erstes eine Aufgabe, die im Unterricht schon vor Behandlung von exponentiellem Wachstum besprochen werden kann und die keinerlei Vorwissen über Differentialgleichungen benötigt.

Aufgabe 1

Angenommen, auf einem See sind Seerosen und die von den Seerosen bedeckte Fläche verdoppelt sich jeden Tag. Wenn der See nach 50 Tagen komplett bedeckt ist, wie viele Tage dauert es, bis er halb bedeckt ist?

Eine weitere Aufgabe, um Lernende an exponentielles Wachstum zu gewöhnen ist die Folgende:

Aufgabe 2

Gegeben sei ein Schachbrett. Auf das erste Feld wird ein Reiskorn gelegt, auf das zweite zwei, auf das dritte vier, usw. immer doppelt so viel Reiskörner wie auf dem Feld zuvor. Wie viele Reiskörner liegen auf dem letzten Feld?

Bei dieser Aufgabe geht es allerdings nicht um das Berechnen des Ergebnisses per se, sondern vielmehr darum, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie schnell sich eine Größe vermehrt, wenn sie kontinuierlich verdoppelt wird. Dazu kann diese Schachbrettaufgabe auch einmal als Hausaufgabe mitgegeben werden mit dem Auftrag, sie tatsächlich mit echten Reiskörnern nachzustellen.

Eine Variante derselben Idee ist die Folgende:

Aufgabe 3

Angenommen ein Blatt Papier ist $0,\negthinspace 2\,\text{mm}$ dick. Angenommen, man könnte es 41 Mal falten – immer so, dass sich die Fläche halbiert – wie dick/hoch wäre der entstandene “Turm”?

Praktischer und relevanter ist ein Versuch zu exponentiellem Zerfall, welcher im Gegensatz zu exponentiellem Wachstum tatsächlich in der Natur auftritt.

Aufgabe 4

Nimm ein hohes, zylinderförmiges Glas oder einen Messbecher und fülle es mit Bier. Miss einmal pro Minute die Höhe des Bierschaums. Trage die Werte in eine Tabelle ein und zeichne die Messpunkte in ein geeignetes Koordinatensystem. Wie lange dauert es, bis die Schaumhöhe sich halbiert hat? Wie lange, bis sie sich geviertelt hat? Wie lange, bis sie sich geachtelt hat? Was fällt dir auf?

Besteht keine Möglichkeit, diesen Versuch im Schullabor durchzuführen, kann die folgende Simulation verwendet werden:

Anleitung: Mit dem Schieberegler die Zerfallsrate des Schaums einstellen. Mit dem “Start”-Knopf die Simulation beginnen. Mit dem dann erscheinenden “Stop”-Knopf die Simulation wieder beenden.

Mit dieser Aufgabe wird das Konzept der Halbwertszeit eingeführt. Diese gibt genau das an, nach dem in der Aufgabe gefragt wird: Die Zeit, die es braucht, bis die betrachtete Größe sich halbiert hat. Bei exponentiellem Zerfall ist diese immer unabhängig von der Startmenge. Sie hängt nur von der Zerfallsrate ab und ist somit ein anderes Maß für die Zerfallsgeschwindigkeit. Bei exponentiellem Wachstum ist die dementsprechende Größe die Verdopplungszeit.

Abschließend seien noch klassische Rechenaufgaben erwähnt, in denen aus Datenpunkten Funktionen berechnet werden sollen. In Szene 1: Hausaufgabenbearbeitung der Modellierungsaufgabe hat Hannah eine solche Aufgabe bearbeitet, die Sie hier herunterladen können: Download.

Um eine solche Aufgabe bearbeiten zu können, müssen Lernende wissen, dass Exponentialfunktionen durch zwei Datenpunkte festgelegt sind und logistische Funktionen durch drei. Als Einführung hierzu kann eine Aufgabe wie die folgende nützlich sein:

Aufgabe 5

Auf einer einsamen Insel werden zwei Affen ausgesetzt. Es sei angenommen, ihre Population entwickelt sich logistisch. Wenn 30 Affen auf der Insel Platz haben und nach 5 Jahren 10 Affen auf der Insel sind, mit wie vielen Affen kann man nach 10 Jahren rechnen?