Dreisatz & Prozentrechnen
Der Dreisatz kann als eine Methode zum “Bruchrechnen ohne Brüche” verstanden werden. Er basiert darauf, dass unterschiedliche Brüche dieselbe Zahl darstellen können: Gilt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ und sind drei der Größen gegeben, so kann die vierte leicht durch Auflösen der Gleichung gefunden werden. Zur Bestimmung von z.B. $d = \frac{bc}{a}$ erfordert das eine Multiplikation, eine Division, das Merken von Zwischenergebnissen und natürlich auch das Auflösen an sich. Darum ist es meist einfacher, einen Zwischenschritt der Form
\[\frac{a}{b}\enspace =\enspace \frac{1}{e}\enspace =\enspace \frac{c}{d}\]
einzuführen. Das führt dann zu dem gängigen Verfahren
\[a \text{ Einheiten}\enspace\hat{=}\enspace c \text{ Einheiten},\]
\[1 \text{ Einheit}\enspace\hat{=}\enspace \frac{c}{a} \text{ Einheiten},\]
\[b \text{ Einheiten}\enspace\hat{=}\enspace \frac{bc}{a}\enspace =\enspace d \text{ Einheiten}.\]
Dieses unterscheidet sich prinzipiell nicht vom direkten Auflösen, macht es aber deutlich einfacher, sich die einzelnen Rechenschritte zu merken und durchzuführen. Dies lässt sich an folgender Aufgabenstellung illustrieren:
Die zugehörige Lösung per Auflösen folgendermaßen aus:
\[\frac{3}{4}\enspace =\enspace \frac{135\,\text{€}}{x}\]
\[3x\enspace =\enspace 4\cdot 135\,\text{€}\enspace =\enspace 540\,\text{€}\]
\[x\enspace =\enspace \frac{540\,\text{€}}{3}\enspace = \enspace180\,\text{€}\]
Der Dreisatz im Vergleich liefert
\[3\enspace \hat{=}\enspace 135\,\text{€}\]
\[1\enspace\hat{=}\enspace45\,\text{€}\]
\[4\enspace\hat{=}\enspace180\,\text{€}.\]
Die Rechnung ist dieselbe, die bei der Einführung von Brüchen als Teil eines Ganzen eingeführt wurde. Allerdings erleichtert es diese Art der Buchführung, die der Dreisatz darstellt, diese mit weniger Fehlern durchzuführen. Auch die Interpretation als Teil mehrerer Ganzer findet ihre Anwendung im Dreisatz. Vergegenwärtigen wir uns nochmals das bereits genannte Beispiel, das die Notwendigkeit dieser Interpretation veranschaulicht hatte: Was sind $\frac{4}{6}$ von $15$? Als Dreisatz aufgeschrieben sieht dieses folgendermaßen aus:
\[1\text{ Ganzes}\enspace\hat{=}\enspace 15\]
\[4\text{ Ganze}\enspace\hat{=}\enspace 15\cdot 4\enspace =\enspace 60\]
\[\frac{4}{6}\text{ Ganze}\enspace\hat{=}\enspace 60 : 6\enspace =\enspace 10\]
Der Dreisatz ist also kein neues Verfahren, sondern einfach nur eine andere Art und Weise, über Brüche nachzudenken.
Der Dreisatz kommt in vergleichbaren Situationen auch zum Einsatz, wenn Prozente statt gemeiner Brüche verwendet werden. Das typischste Beispiel hier ist wohl das Herausrechnen der Mehrwertsteuer. Da vom Nettopreis ausgehend $19\%$ davon hinzuaddiert werden, machen viele Lernende den Fehler, $19\%$ vom Bruttopreis abzuziehen, um den Nettopreis zu finden. Dieses Problem entsteht, wenn der Mehrwertsteuerbetrag alleine berechnet und in einem zweiten, gedanklich unabhängigen Schritt zum Nettopreis hinzuaddiert wird. Wird hingegen gleich der Nettopreis ausgehend vom Bruttopreis berechnet, sieht die zugehörige Rechnung z.B. bei einem Bruttopreis von $30\,\text{€}$ wie folgt aus:
\[100\%\enspace\hat{=}\enspace30\,\text{€}\]
\[1\%\enspace\hat{=}\enspace\frac{30}{100}\,\text{€}\enspace =\enspace 0,\negthinspace 3\,\text{€}\]
\[119\%\enspace\hat{=}\enspace0,\negthinspace 3\cdot 119\,\text{€}\enspace =\enspace 35,\negthinspace 7\,\text{€}\]
Diese Rechnung ist nun sehr viel leichter umzukehren. Es muss im Wesentlichen nur die Reihenfolge der Zeilen umgedreht werden:
\[119\%\enspace\hat{=}\enspace35,\negthinspace 7\,\text{€}\]
\[1\%\enspace\hat{=}\enspace\frac{35,\negthinspace 7}{119}\,\text{€}\enspace =\enspace 0,\negthinspace 3\,\text{€}\]
\[100\%\enspace\hat{=}\enspace0,\negthinspace 3 \cdot 100\,\text{€}\enspace =\enspace 30\,\text{€}\]
Da der Additionsschritt in dieser Rechnung fehlt, ist es leichter, diesen Vorgang als multiplikativ zu erkennen.
In diesem Modul sind Brüche bzw. deren Nenner mehrfach als Einheiten interpretiert worden. Diese Perspektive kann auch direkt für das Prozentzeichen übernommen werden – insbesondere da es einen Stammbruch darstellt. Allerdings fällt es oft schwer, bei konkreten Rechnungen daran zu denken und nicht bekannte Methoden abzuspulen. Es kann deshalb helfen, gemeine Brüche und auch Dezimalbrüche über anschauliche, konkrete und geometrische Situationen einzuführen und zu motivieren. Auf diese Weise können Lehrkräfte verhindern, dass auswendig gelernte Regeln vorschnell und gedankenlos angewendet werden.