Fachwissenschaft Mathematik: Aufgaben zum Unterricht
In folgendem Beispiel erarbeiten die Lernenden mithilfe interaktiver Visualisierungen selbst einige Eigenschaften zu Sinus und Cosinus (Aufgabenblatt). Sie leiten den Cosinus grafisch ab, lernen die Parameter kennen und experimentieren im Microlab am Einheitskreis.
Die beiden Videos zeigen Ausschnitte zum Aufgabenblatt.
Im Microlab kann herumexperimentiert werden.
Anleitung: In den beiden grauen Eingabefeldern Werte derart bearbeiten, dass die Punkte B bis F eingekreist werden. Die orangene und grüne Kurve unterhalb sind die beiden eingegebenen Kurven, welche nach unten verschoben wurden.
Weitere Aufgaben
Nachdem die Ableitungen des Sinus und Cosinus hergeleitet wurde, ist es im Anschluss wichtig das Wissen anhand von Aufgaben zu festigen. Wichtig dabei ist, dass die Lernenden nicht eine „nackte“ Sinus- bzw. Cosinusfunktion ableiten, sondern diese mit der Faktor-, Summen-, Quotienten-, Produktregel etc. verknüpfen müssen. Die kleine Aufgabensammlung soll Anregung für den Unterricht geben:
Aufgabe 1
Leiten Sie folgende Funktionen ab:
\[f(x)=5\sin(x)+2\cos(x)\]
\[g(x)=\frac{1-x^2}{\cos(x)} \]
\[h(x)=\frac{3\cos(x)\sin(x)}{x^2} \]
\[i(x)=e^{\sin(x)} \]
\[k(x)=\sin^2(x) \]
$$g'(x)=\frac{-2x\cos(x)+(1-x^2)\sin(x)}{\cos^2(x)}$$
$$h'(x)=\frac{(-3\sin^2(x)+3\cos^2(x))x^2-(3\cos(x)\sin(x))2x}{x^4}$$
$$ i'(x)=\cos(x)e^{\sin(x)}$$
$$k'(x)=2\sin(x)\cos(x)$$
Nachdem die Ableitungen verinnerlicht wurden kann je nach Bedarf das Ableiten weiterer trigonometrische Funktionen besprochen werden. Dies ist beispielsweise für eine Unterrichtsstunde möglich, in welcher man die Lernenden mit dem Kotangens, Sekans und Kosekans vertraut macht und sie anschließend die neu erlernten Funktionen ableiten lässt.
Aufgabe 2
Leiten Sie folgende Funktionen ab:
\[\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
\[\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]
\[\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\]
\[\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}\]
$$\cot'(x)= -\frac{1}{\sin^2(x)}=-\csc^2(x)$$
$$\sec'(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\tan(x)\sec(x)$$
$$\csc'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}=-\cot(x)\csc(x)$$
Häufig wird die Anwendung der Kettenregel vergessen. Leider ist Vielen nicht bewusst, dass es sich bei Sinus und Cosinus um Funktionen handelt, was dann zu Rechnung der Art $\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin}{1}$ führt. Es muss meist explizit darauf aufmerksam gemacht werden.
Aufgabe 3
Leiten Sie folgende Funktionen ab:
\[f(x)=-\cos(x^2)\]
\[g(x)=x^3 \sin(2x)\]
\[h(x)=\frac{3\sin(x)}{\cos(5x^3)}\]
\[i(x)=-\sin(e^x)\]
\[k(x)=-3\cos(x^4)\]
$$ g'(x)=3x^2\sin(2x)+2x^3\cos(2x)$$
$$h'(x)=\frac{3\cos(x)\cos(5x^3)+45x^2\sin(x)\sin(5x^3)}{\cos^2(5x^3)}$$
$$ i'(x)=-e^x\cos(e^x)$$
$$k'(x)=12\sin(x^4)+\frac{1}{x}$$
Ein weiterer wichtiger Aufgabentyp, welcher auch häufig im Abitur geprüft wird, ist das Aufstellen von Tangenten an bestimmten Stellen des Graphen. Beispielaufgaben können dem Schulbuch Lambacher Schweizer 11 auf S.129 entnommen werden. Hier ein kleiner Vorgeschmack:
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in dem Punkt $P\in G_f$ mit
\[f(x)=3\sin(x)\]
und
\[P \left(\frac{5}{3}\pi;\enspace ?\right) \]
Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe, die jedoch zu einem späteren Zeitpunkt bearbeitet werden muss, weil das Integrieren erst in der 12. Jahrgangsstufe vorgesehen ist:
Aufgabe 5
Berechnen Sie die Fläche die der Graph der Funktion $ f$ mit der $x-$Achse im angegebenen Intervall einschließt.
\[\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin(x)dx\]
$$=\int_{0}^{\pi}\sin(x)dx+\int_{\pi}^{2\pi}\sin(x)dx$$
$$= {\vert [\cos(x)]_{0}^{\pi} \vert +\vert[\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} \vert}$$
$$=\vert \cos(\pi)-\cos(0)\vert+\vert \cos(2\pi)-\cos(\pi)\vert$$
$$=\vert-1-1\vert+\vert1-(-1)\vert=4$$
Zum Abschluss kann es für die Lernenden motivierend sein, eine Abituraufgabe zu bearbeiten. Eine Originalaufgabe, welche das Thema Sinus und Cosinus sowohl allgemein, als auch im Sachzusammenhang behandelt ist im Abitur 2016 (Prüfungsteil B, Analysis, Aufgabengruppe 2, Aufgabe 2) zu finden. Alle Abituraufgaben sind auf der ISB-Website zu finden; hier wird eine gekürzte und abgewandelte Version vorgestellt, die jedoch den gleichen Aufgabentyp darstellt.
Aufgabe 6
Gegeben ist die Funktion $f(x)=\sin(b\cdot x)$. Es ist bekannt, dass die Periode der Funktion $\displaystyle T=\frac{1}{2}\pi$ beträgt. Bestimmen Sie den Parameter $b$.