Beweis mit komplexer Exponentialfunktion

Eine weitere Möglichkeit die Aussage $\sin’(x)=\cos(x)$ und $ \cos’(x)=-\sin(x)$ zu zeigen ist über die komplexe Exponentialfunktion. Ist die Zahl $e$ nicht bekannt, wird üblicherweise direkt die Potenzreihe

\[\mathrm{exp}(x) \coloneqq \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\]

definiert und anschließend $e \coloneqq \mathrm{exp}(1)$. Danach muss die fundamentale Eigenschaft $\frac{d}{dx}\mathrm{exp}(x) = \mathrm{exp}(x)$ für komplexe Zahlen $x$ bewiesen werden, um damit auf die Euler-Gleichung $\mathrm{exp}(ix) = \cos(x) + i\cdot\sin(x)$ zu kommen.

Obwohl das Thema (sowie die Voraussetzungen – Komplexe Zahlen) nicht Teil des Lehrplans in Schulen ist, wird der Beweis hier gezeigt. Er lässt sich anschließend so elegant und unkompliziert führen, dass es sich lohnt ihn gesehen zu haben. Es gilt:

\[\cos’(x)+i\cdot\sin’(x)\]

\[=\frac{d}{dx}e^{ix}\]

\[=ie^{ix}\]

\[=i\cos(x)+i^2\cdot\sin(x)\]

\[=i\cos(x)-\sin(x)\]

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert $\sin’(x)=\cos(x)$ und $\cos’(x)=-\sin(x)$.