Eigenschaften
Das Bild zeigt die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion. Um im Anschluss Eigenschaften dieser Funktionen herzuleiten wird ausgenutzt, dass sie die $y$- beziehungsweise $x$-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis darstellen.
Die Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ haben folgende gemeinsame Eigenschaften:
- Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
- Wertebereich $\mathbb{W}=[-1;1]$
- Periodizität mit Periode $2\pi$
- Symmetrie: Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung: $\sin(-x)=-\sin(x)$ für alle $x\in\mathbb{D}$. Der Cosinus ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse: $\cos(-x)=\cos(x)$ für alle $x\in\mathbb{D}$.
Dies kann durch die Visualisierung auf der vorherigen Seite oder die Abbildung oben nachvollzogen werden.
Nullstellen
Betrachtet wird zuerst der Sinus. Beim Ursprung beginnend sind die ersten Nullstellen in Richtung des positiven Definitionsbereichs $0, \pi, 2\pi, \ldots$. Aufgrund der Periodizität lässt sich dies verallgemeinern zu:
\[\sin(k\pi)=0\]
für beliebiges $k\in\mathbb{Z}$. Da der Cosinus einem um $\frac{\pi}{2}$ in die negative $x$-Richtung verschoben Sinus entspricht, ergibt sich für die Nullstellen:
\[\cos\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=0\]
mit $k\in\mathbb{Z}$.
Extrema
Die Sinus- und Kosinusfunktion, besitzen Hoch- und Tiefpunkte mit der $y$-Koordinate $\pm1$. Es gilt für alle $k\in\mathbb{Z}$:
\[\sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^k\]
\[\cos(k\pi)=(-1)^k\]
Schnittpunkte von Sinus und Cosinus
Die beiden trigonometrischen Funktionen schneiden sich jeweils in den folgenden Punkten: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}+k \pi\right) = (-1)^k\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\).
Weitere Informationen zu den trigonometrischen Funktionen finden sie in (Korntreff, 2017).