Fachwissenschaft Mathematik: Aufgaben
Im Unterrichtsvideo in Szene 6: Besprechung der Hausaufgabe gibt die Lehrerin den Schülerinnen und Schülern ein Übungsblatt.
Der Pythagorasbaum in Aufgabe 3 beispielsweise ist eine gute Aufgabe um abstrahiert von der Formel die Zusammenhänge zu verstehen.
In diesem Abschnitt wollen wir einige Übungsaufgaben zur Verfügung stellen. Hierbei liegt der Fokus auf dem Rechnen und dem analytischen Vorgehen. Es soll gezeigt werden, dass mit einer eigentlich leichten Formel, wie der des Satzes des Pythagoras, bereits eine Vielzahl von größeren und schweren Problemen gelöst werden kann. Bei manchen Aufgaben finden sich Lösungen am Ende, um das Ergebnis zu verifizieren. Als letzte Aufgabe stellen wir auch noch ein geometrisches Spiel vor, bei dem der Zusammenhang zwischen Analytik und Geometrie hergestellt wird.
Aufgabe 1: Allgemeine Abstandsbestimmung
Wir wollen uns hier überlegen, wie der Satz des Pythagoras genutzt werden kann, um Abstände zu berechnen.
(a) Wir starten im $\mathbb{R}^2$. Gegeben sind die Punkte $A=(1,2)$ und $B=(3,3)$. Machen Sie sich eine Skizze und berechnen Sie den Abstand von $A$ nach $B$ mithilfe des Satzes.
(b) Wir betrachten nun den $\mathbb{R}^3$. Versuchen Sie das Verfahren aus Teil (a) zu verallgemeinern, um den Abstand von Punkten im dreidimensionalen Raum zu berechnen. Machen Sie sich eine geeignete Skizze mit den Punkten $A=(2,0,0)$ und $B=(3,3,1).$ Gesucht ist die Streckenlänge $\vert AB\vert$. Berechnen Sie dazu zuerst Hilfspunkte $C$ und $D$, bei denen zwei der drei Koordinaten mit $A$ beziehungsweise $B$ übereinstimmen. Wenden Sie danach zweimal den Satz des Pythagoras an, um die Streckenlänge $\vert AB\vert$ zu berechnen.
(c) Verallgemeinern Sie die Berechnungen für den $\mathbb{R}^n$ und finden Sie eine einzige, geschlossene Formel.
Aufgabe 2: Konkrete Abstandsbestimmung
In vielen praktischen Situationen können Abstände oft dadurch bestimmt werden, indem man rechtwinklige Dreiecke findet. Ein einfaches Beispiel hierfür:
Angenommen, eine Person möchte das $137\,m$ breite Reichstagsgebäude fotografieren. Wie weit muss sie von ihm entfernt stehen, wenn
- sie es in ganzer Breite auf das Bild bekommen möchte,
- es frontal zu sehen sein soll und
- der Öffnungswinkel des Kameraobjektivs genau $90^\circ$ beträgt?
Aufgabe 3: Geometrische Konstruktion von Wurzeln
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es möglich ist Wurzellängen geometrisch zu konstruieren.
Wir starten mit einer Strecke der Seitenlänge $1$. Die Aufgabe ist es, daraus eine Strecke mit Länge $\sqrt{8}$ zu konstruieren. Die Idee dabei ist, den Term $n+1$ einmal als $\sqrt{n+1}^2$ zu schreiben und einmal als $\sqrt{n}^2 + 1$. Damit gilt
\[\sqrt{n+1}^2=\sqrt{n}^2+1^2\]und der Satz des Pythagoras garantiert dann, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit den entsprechenden Seitenlängen existiert. Diese Idee benutzen wir, um Strecken der Länge $\sqrt{n}$ zu konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:
- Wir starten mit einer Strecke $\overline{AB}$ der Länge eins, diese dürfen wir mit dem Lineal eintragen.
- Wir konstruieren eine Strecke der Länge eins, welche senkrecht auf $B$ steht. Der Endpunkt sei $C$.
- Die Strecke $\overline{AC}$ hat nun die Länge $\sqrt2$.
- Mit der neuen Strecke kann man dasselbe nochmal machen und wir erhalten die Strecke $\sqrt3$ usw.
Aufgabe 4: Cosinussatz für nicht rechtwinklige Dreiecke
Es seien die beiden Längen $b$ und $c$, sowie der Winkel $\alpha$ bekannt. Ziel ist es die Länge der Seite $a$ zu bestimmen.
Hierzu wollen wir nun eine Formel herleiten, die für allgemeine Dreiecke gilt. Das heißt, wenn wir zwei Seitenlängen und einen Winkel kennen soll uns die Formel ermöglichen die fehlende dritte Seitenlänge zu berechnen. Wir folgen dazu der Skizze und zerlegen $c=p+q$. Wenden Sie in jedem der kleinen Teildreiecke den Satz des Pythagoras an und leiten Sie damit die allgemeine Formel her:
\[c^2+b^2-2bc\cdot\cos\alpha=a^2\]Aufgabe 5: Pythagoras Puzzle
Ziel ist es, geometrisch zu erkennen, dass der Satz des Pythagoras Gültigkeit hat. Schneiden Sie dazu alle geometrischen Formen aus folgender Skizze aus!
Versuchen Sie nun aus dem großen Quadrat und vier der Dreiecke ein neues Quadrat zu legen. Nehmen Sie dann die verbleibenden vier Dreiecke und die zwei kleinen Quadrate und legen daraus ebenfalls ein Quadrat. Überprüfen Sie, dass die beiden entstandenen Quadrate gleich groß sind; zum Beispiel durch Messen der Seiten. Warum folgt daraus nun, dass $a^2+b^2=c^2$ gilt?