Quadratsummensatz

(Haag, 1989)

Wie in Haag (1989) gezeigt, gilt folgender Satz:

Es sei ein beliebiges $n$-Eck gegeben, sowie ein beliebiger Punkt $Z$. Die Lotgeraden von $Z$ auf die Vieleckseiten teilen jede Seite innen oder außen in zwei Teilstücke. Hierbei kann eines die Länge 0 haben. Über jeder solchen Teilstrecke wird ein Quadrat errichtet. Alle diese Quadrate werden nacheinander durchnummeriert. Dann ist die Flächensumme der Quadrate mit gerader Nummer gleich jener der Quadrate mit ungerader Nummer.

Nachfolgende Visualisierung zeigt den Satz exemplarisch für einen Punkt $Z$ innerhalb des Fünfecks, wobei die Durchnummerierung übersichtlichkeitshalber alphabetisch erfolgt.

Anleitung: Den orangen Punkt im Fünfeck frei bewegen.

Dieser Satz lässt sich als eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auffassen. Wird als Polygon ein rechtwinkliges Dreieck gewählt und der Punkt $Z$ auf einen Endpunkt der Hypotenuse gelegt, so ergibt sich genau die Figur vom Satz des Pythagoras.

Andererseits lässt sich der Satz des Pythagoras auch hervorragend benutzen, um diesen allgemeineren Satz zu beweisen. Der Beweis sei hier nur skizziert:

In obiger Figur fällt auf, dass durch die Lotgeraden und durch die Geraden, die  $Z$ mit den Ecken des Polygons verbinden, das Innere des Polygons in viele rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. Die Geraden zu den Ecken bilden hierbei jeweils die Hypotenusen. Die Lotgerade ist eine der beiden Katheten und das Streckenstück am Rand (auf dem das Quadrat errichtet wird) die andere Kathete. Die jeweiligen Pythagorasformeln für alle diese rechtwinkligen Dreiecke lassen sich geschickt addieren, sodass die Aussage des Quadratsummensatzes gefolgert werden kann. Der entscheidende Punkt hierbei ist, dass Hypothenusenquadrat und eines der Kathetenquadrate in einem Dreieck auch in einem anderen Dreieck auftreten und sich gegenseitig wegheben.