Was gehört noch zum Satz des Pythagoras?

Toolbox Lehrerbildung
Department of Educational Science
TUM School of Social Sciences and Technology
Technische Universität München

Was gehört noch zum Satz des Pythagoras?

Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören neben dem Satz des Pythagoras, auch der Kathetensatz und der Höhensatz und deren jeweilige Umkehrung, welche später behandelt werden.

Kathetensatz

Der Kathetensatz wird manchmal auch als Satz des Euklid bezeichnet:

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt, wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur betreffenden Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt.

Der Kathetensatz kann geometrisch wie folgt veranschaulicht werden:

Anleitung: Den weißen Punkt in der linken Figur hin und her bewegen.

Wird die Gerade durch den Höhenfußpunkt der Geraden $AB$ in Richtung des Hypotenusenquadrats verlängert, erhalten wir zwei Rechtecke mit den Breiten $p$ und $q$ und der Länge $c$. Die beiden Rechtecke können den Kathetenquadraten zugeordnet werden. Dabei ergeben sich die folgenden Zusammenhänge:

\[a^2=cq\]

\[b^2=cp\]

Höhensatz

Der Höhensatz besagt:

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt das Quadrat über der zur Hypotenuse gehörenden Höhe denselben Flächeninhalt, wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

Oder als Formel:

\[h^2=pq\]

Als interaktive Visualisierung veranschaulicht:

Anleitung: Den weißen Punkt bewegen.

Der inverse Satz des Pythagoras

Als letztes Beispiel sei hier der inverse Satz des Pythagoras genannt. Dieser besagt:

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypothenusenhöhe $h$ und Katheten $a,b$ gilt $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}.$$

Ähnliche algebraische Beziehungen gibt es zwischen zahlreichen Größen in rechtwinkligen Dreiecken; auch wenn sie nicht unbedingt eine direkte geometrische Anschauung erlauben.

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