Pythagoreische Zahlentripel
Hier wollen wir die mathematischen Aspekte der pythagoreischen Zahlentripel betrachten. Diese sind wie folgt definiert:
Ein Tripel $(a, b, c) $ mit $a, b, c \in \mathbb{N}$ ist genau dann ein pythagoreisches Zahlentripel, wenn die Gleichung $a^2+b^2=c^2 $ erfüllt ist.
Ein paar der pythagoreischen Tripel werden hier veranschaulicht:
Was tun: Den weißen Punkt auf kleine weiße Punkte verschieben.
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras impliziert, dass pythagoreische Tripel genau den rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen entsprechen. Das kleinstmögliche pythagoreische Tripel ergibt sich als $(3, 4, 5) $.
Ist ein Tripel $(a, b, c) $ ein pythagoreisches Zahlentripel, so sind offensichtlich auch alle Vielfachen eines Tripels pythagoreische Zahlentripel. Oder umgekehrt: Ist $d$ ein Teiler jeder Zahl des Tripels $(a, b, c) $, so ist auch das Tripel $(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d}) $ ein pythagoreisches Zahlentripel.
Ein pythagoreisches Tripel wird als primitiv bezeichnet, wenn die Komponenten eines Tripels paarweise teilerfremd sind. Sprich, wenn sie alle kleinstmöglich sind.
Weitere pythagoreische Tripel
Um zur eingangs erwähnten Geschichte der Seilspanner zurückzukommen: Es stellt sich nun die Frage, ob es Seile mit einer anderen Anzahl an Knoten gibt als $3 + 4 + 5$, mit denen ebenfalls, wie in obiger Figur, ein rechter Winkel aufgespannt werden kann? Gesucht sind also weitere pythagoreische Zahlentripel.
Eine Möglichkeit primitive pythagoreische Zahlentripel zu erzeugen ist die Folgende:
Hierzu werden zwei Zahlen $x, y \in \mathbb{N}$, sodass $x > y$, mit nachfolgenden Eigenschaften gewählt:
- $x$ und $y$ sind teilerfremd
- $x+y$ ergibt eine ungerade Zahl
Nun lassen sich $a, b, c$ mit den folgenden drei Formeln bestimmen:
-
$a=x^2-y^2 $
-
$b=2xy$
-
$c=x^2+y^2 $
Um beispielsweise das obige Tripel $(3, 4, 5)$ zu erhalten, werden $x=2$ und $y=1$ gesetzt. Mit $x=3$ und $y=2$ hingegen, lautet das resultierende Tripel $(5, 12, 13)$.