Kehrsätze
Wie bereits im Abschnitt zur Entstehung des Satzes des Pythagoras erwähnt, werden oft die Kehrsätze von bekannten Aussagen verwendet. Ein Kehrsatz existiert genau dann, wenn zwischen der Voraussetzung und der Aussage eine genau-dann-wenn-Beziehung besteht. Das heißt, wenn die Rückrichtung eines Satzes ebenfalls bewiesen ist.
Beispielhaft kann folgende Aussage getroffen werden:
Wenn es geregnet hat, dann ist die Straße nass. Die Voraussetzung ist hier, dass es geregnet hat und die Aussage, dass die Straße folglich nass ist. Die Umkehrung hierzu wäre: Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet. In diesem Fall ist der Kehrsatz falsch, da das Wasser auch auf eine andere Art auf die Straße gelangen könnte. Die Voraussetzung, dass es geregnet hat, ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
Im Falle der Satzgruppe des Pythagoras gelten die Kehrsätze, also die Umkehrungen der Sätze.
Kehrsatz zum Satz des Pythagoras
Der nachfolgende Satz ist der Kehrsatz zum Satz des Pythagoras:
„Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck mit den Seiten $a, b, c$ und gilt die Beziehung $a^2+b^2=c^2$ , so ist das Dreieck rechtwinklig mit Hypotenuse $c$.“
Kehrsatz zum Kathetensatz
„Gilt für ein Dreieck $\triangle ABC$ mit dem Höhenfußpunkt $D$ auf der Strecke $AB$ die Beziehung $\vert AC\vert ^2=\vert AB\vert \cdot\vert AD\vert$ oder die Beziehung $\vert BC\vert ^2=\vert AB\vert \cdot\vert BD\vert$, so ist das Dreieck rechtwinklig mit $AB$ als Hypotenuse.“
Kehrsatz zum Höhensatz
“Gilt für ein Dreieck $\triangle ABC$ mit dem Höhenfußpunkt $D$ auf der Strecke $AB$ die Beziehung:$\vert CD\vert ^2=\vert AD\vert \cdot\vert BD\vert$, so ist das Dreieck rechtwinklig mit $AB$ als Hypotenuse.“