Gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke

Gegeben sein ein rechtwinkliges Dreieck, welches zusätzlich gleichschenklig ist. Es ergibt sich durch Umformung der Gleichung: 

\[a^2+b^2=c^2,\quad \text{ mit }a=b\]

\[\Leftrightarrow 2a^2=c^2\]

\[\Leftrightarrow\sqrt{2}a=c\]

Aufgrund der Irrationalität von $\sqrt{2}$ können sich keine ganzzahligen Seitenzahlen ergeben. Definiert werden können fast-gleichschenklige pythagoräische Dreiecke, welche durch das Tripel $(a,\enspace a+1,\enspace c)$ gekennzeichnet sind. Diese Tripel sind geeignet um rationale Näherungswerte von $\sqrt{2}$ zu erhalten.

Um so eine Näherung von $\sqrt{2}$ aus einem fast gleichschenkligen Dreieck $(a,\enspace a+1,\enspace c) $ zu erhalten, wird die Summe der beiden Katheten berechnet und anschließend durch die Hypotenuse geteilt; also $\frac{2a+1}{c} $. Bereits für das kleinste pythagoräische Tripel $(3,4,5) $, welches fast gleichschenklig ist, erhält man so die Näherung $\sqrt{2}\sim\frac{3+4}{5}=\frac{7}{5}=1,\negthinspace 4$.

Will man fast gleichschenklige Dreiecke mir großen Seitenlängen erzeugen, so hilft der folgende Satz aus Fraedrich (1995) weiter:

Ist $(a,\enspace a+1,\enspace c)$ ein pythagoreisches Zahlentripel, so auch das Tripel

\[(3a + 2c +1,\quad 3a+2c+2,\quad 4a+3c+2),\]

welches wiederum ein fast-gleichschenkliges pythagoreisches Dreieck liefert.

Begonnen mit $a=3 $ ergeben sich somit folgende Näherungsbrüche:

\[(3,4,5): \quad\frac{7}{5}=1,\negthinspace 4\ldots\] \[(20,21,29):\quad\frac{41}{29}=1,\negthinspace 41379\ldots\] \[(119,120,169):\quad  \frac{239}{169}=1,\negthinspace 41420\ldots\]

Die letzte Zahl nähert $\sqrt{2}=1,\negthinspace 4142135\ldots$ immerhin bereits auf vier Nachkommastellen an.