Die Visualisierung auf dieser Seite ist lizenziert unter einer Creative Common Namensnennung
- Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International. Verwendung und Verbreitung ist unter Namensnennung erlaubt.
Es sei ein beliebiges [mathjaxinline]n[/mathjaxinline]-Eck gegeben, sowie ein beliebiger Punkt [mathjaxinline]Z[/mathjaxinline]. Die Lotgeraden von [mathjaxinline]Z[/mathjaxinline] auf die Vieleckseiten teilen jede Seite innen oder außen in zwei Teilstücke. Hierbei kann eines die Länge 0 haben. Über jeder solchen Teilstrecke wird ein Quadrat errichtet. Alle diese Quadrate werden nacheinander durchnummeriert. Dann ist die Flächensumme der Quadrate mit gerader Nummer gleich jener der Quadrate mit ungerader Nummer.
Die nachfolgende Visualisierung zeigt den Satz exemplarisch für einen Punkt [mathjaxinline]Z[/mathjaxinline] innerhalb des 5-Ecks, wobei die Durchnummerierung übersichtlichkeitshalber alphabetisch erfolgt.
Was tun: Orangenen Punkt im Fünfeck frei bewegen.
Was beobachten: Vergleichen der Flächeninhalte.
Dieser Satz lässt sich als eine Verallgemeinerung des Satz von Pythagoras auffassen. Wird als Polygon ein Dreieck gewählt und der Punkt [mathjaxinline]Z[/mathjaxinline] auf den Punkt [mathjaxinline]B[/mathjaxinline] gelegt, so ergibt sich genau die Figur vom Satz des Pythagoras.
Andererseits lässt sich der Satz des Pythagoras auch hervorragend benutzen, um diesen allgemeineren Satz zu Beweisen. Der Beweis sei hier nur angedeutet: Betrachtet man die obige Figur, so fällt auf, dass durch die Lotgeraden und durch die Geraden, die [mathjaxinline]Z[/mathjaxinline] mit den Ecken des Polygons verbinden, das Innere des Polygons in viele rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. Die Geraden zu den Ecken bilden hierbei jeweils die Hypotenusen. Die Lotgerade ist eine der beiden Katheten und das Streckenstück am Rand (auf dem das Quadrat errichtet wird) die andere Kathete. Stellt man für alle diese rechtwinkeligen Dreiecke die jeweilige Pythagorasformel auf, so lassen sie sich so geschickt addieren, dass die Aussage des Quadratsummensatzes entsteht. Der entscheidende Punkt hierbei ist, dass dadurch dass die rechtwinkligen Dreiecke jeweils aneinander liegen die Hypotenuse und eine Kathete in zwei Dreiecken auftritt uns sich gegenseitig weghebt.
