Home Projektbeschreibung Über uns Aktuelles Module Lizenzen & Zitation Kontakt Neu anmelden Einloggen

Wir setzen Cookies zur statistischen Auswertung der Websitenutzung ein. Mehr zu den eingesetzten Cookies und zur Möglichkeit diese abzulehnen finden Sie in der Datenschutzerklärung.

Erziehungswissenschaft/Psychologie:

Hier werden zentrale Themen der Erziehungswissenschaft und Psychologie vorgestellt, die eine Grundlage für erfolgreiches Lehren und Lernen darstellen. Dabei werden wesentliche Inhalte der lehramtsspezifischen Aus- und Weiterbildung aufgegriffen.

Fachdidaktik:

Hier werden zentrale Themen der Fachdidaktik Mathematik vorgestellt. Den Ausgangspunkt bilden Kernthemen der Fachdidaktischen Lehreraus- und -weiterbildung die dazu dienen, Lehr- und Lernprozesse aus einer domänenspezifischen Perspektive zu beleuchten und Unterricht praxisnah gestalten und überprüfen zu können.

Fachwissenschaft:

Hier werden zentrale Themen der Mathematik und Informatik behandelt. Den Ausgangspunkt bilden Kernthemen der Sekundarstufe I und II, die u.a. in der ersten Phase der Lehramtsausbildung eine wichtige Rolle spielen.

Unterrichtsvideos:

Hier finden Sie gescriptete Unterrichtsvideos zur Veranschaulichung der Schulpraxis aus der Perspektive der beteiligten Akteure. Die Videoszene dienen der Vernetzung der drei Disziplinen der Lehrerbildung in realitätsnahen Unterrichtssituationen. Diese basieren auf wesentlichen Inahlten der jeweiligen Grundlagenliteratur und eignen sich zur disziplinspezifischen und -übergreifenden Reflexion des Unterrichtsgeschehens.

Grundlagen/Fachliteratur:

Hier findet sich kompakt aufbereitetes Fachwissen für den theoretischen Einstieg. Sowohl der theoretische Hintergrund als auch der aktuelle Forschungsstand werden in verständlicher Form unter Einbezug der Unterrichtsvideos vorgestellt.

Videotutorials:

Komplexere Theorien und Inhaltsbereiche werden ergänzend zur textbasierten Darstellung mithilfe von Erklärvideos präsentiert, um deren Verständnis zu erleichtern indem ein weiterer medialer Zugang angeboten wird.

(Lern-)aufgaben:

Die Aufgabensammlung umfasst Aufgaben

1) für das Selbststudium: Zur Überprüfung des angeeigneten Grundlagenwissens.

2) zum Einsatz in der Lehrveranstaltung: Zur Anregung und Unterstützung von Diskussionen und Lehr- und Lerngesprächen.

3) zum Einsatz im Schulunterricht: Zur Erarbeitung der jeweiligen Inhaltsbereiche.

Visualisierungen:

Hier finden Sie interaktive dynamische Visualisierungen zur direkten Anwendung. Diese können Sie dabei unterstützen, die dargestellten Inhalte leichter zu verstehen oder diese in Ihrem eigenen Unterricht oder Ihrer Lehrveranstaltung zu vermitteln.

Durch einen Klick gelangen Sie ohne Anmeldung direkt zu den dynamischen Visualisierungen.

Begleitmaterialien:

Hier finden Sie diverse Materialien zur Unterstützung der Lehrenden beim Einsatz der Toolbox Lehrerbildung in Ihrer Lehrveranstaltung oder Ihrem Unterricht. Sie dienen als Impuls für unterschiedliche Einsatzmöglichkeiten.

Durch einen Klick gelangen Sie ohne Anmeldung direkt zu den Begleitmaterialien.

TOOLBOX LEHRERBILDUNG

Lehren und Lernen im digitalen Zeitalter

TOOLBOX Glossar - BETA

Wörter mit beigefügten Erklärungen



Aeblis 13 Regeln

Aebli schreibt in seinem Buch "Denken: Das Ordnen des Tuns - Band II: Denkprozesse" über dreizehn Regeln, die den Ablauf des Problemlösens begleiten sollen.
  1. Definiere die Schwierigkeit, fasse sie sprachlich, begrifflich, wenn du kannst, sonst vergegenwärtige sie dir in einer anschaulichen Form.
  2. Wenn sich die Schwierigkeit im alltäglichen Handeln und erleben eingestellt hat, beginne damit, sie in der Sprache des Alltags zu fassen.
  3. Formuliere das Problem mihilfe der schärfsten begrifflichen Mittel, die dir zur Verfügung stehen.
  4. Verschaffe dir den bestmöglichen Überblick über die Gegebenheiten des Problems.
  5. Kennzeichne das Problem.
  6. Suche die geeignete Repräsentation für das Problem.
  7. Präzisiere deine Frage.
  8. Arbeite nicht nur vom Gegebenen zum Gesuchten vorwärts, sondern ebenso sehr vom Gesuchten zum Gegebenen rückwärts.
  9. Prüfe den Fortschritt deiner Lösung.
  10. Geh auf Holzwegen nur so weit wie nötig zurück.
  11. Benutze alle Daten.
  12. Wenn du die Aufgabe nicht lösen kannst, suche eine verwandte Aufgabe. Suche eine speziellere Aufgabe bzw. Suche eine allgemeinere Aufgabe.
  13. Wenn du ein Problem gelöst hast, gehe nicht zur Tagesordnung über, sondern blicke auf die Problemlösung zurück und versuche, aus ihr zu lernen.

Argumentationsebenen (fließender Übergang zwischen den Ebenen):

  • alltagsbezogenes Argumentieren
  • Argumentieren mit mathematischen Mitteln
  • logisches Argumentieren mit mathematischen Mitteln
  • formal deduktives Beweisen

Begründungsarten

  • Induktion und Deduktion
  • Abduktion
  • Berufung auf eine Autorität (in der Mathematik nicht zulässig, allerdings Stellt die Lehrperson oft diese Autorität dar)
  • Analogieschluss
  • Wahrscheinlichkeitsaussage

Drei Beweistypen nach Wittmann und Müller (1988):

  • experimenteller Beweis
    Bei einem experimentellen Beweis wird die Behauptung mithilfe von Beispielen dargestellt. Anhand dieser wird versucht eine Begründung zu finden. Die Begründungen müssen nicht streng logisch sein, formal formuliert werden oder zu einer abschließenden Allgemeingültigkeit führen. Besonders in der Schule ist die Durchführung experimenteller Beweise geeignet, da mit konkreten Beispielen und Experimenten/Versuchsreihen gearbeitet werden kann. Dadurch wird außerdem gefördert, dass die Lernenden ein subjektives Beweisbedürfnis entwickeln und einen persönlichen Bezug herstellen können.
    - Das Beweisbedürfnis wird durch das Suchen und Finden von Beispielen und Gegenbeispielen befriedigt
    - Falsifizieren oder Verifizieren einer Behauptung, über deren Gültigkeit man sich nicht im Klaren ist
    - Es wird keine Gewissheit über die Allgemeingültigkeit der Behauptung erlangt, die Evidenz ist an die untersuchten Beispiele gebunden
  • inhaltlich-anschaulicher bzw. operativer Beweis
    Bei einem operativen Beweis wird ebenfalls mit Beispielen gearbeitet, allerdings wird zusätzlich der mathematische Hintergrund und die Struktur offengelegt. Es soll von einem anschaulichen Beispiel auf einen allgemeingültigen Fall geschlossen werden.
    - Die Struktur bzw. mathematischen Zusammenhänge werden erkannt
    - Beziehungen werden mittels einer Operation offengelegt und damit ablesbar
    - Anschauliches Schlussfolgern (sprachlich-symbolischer Charakter)
    - Subjektiv erlebte, anschauliche Gewissheit, wird bezüglich der Allgemeingültigkeit, die aber im sozialen Rahmen anderen erst zugänglich gemacht werden muss (keine intersubjektive Gewissheit)
  • formal-deduktiver Beweis
    Die Behauptung wird anhand von streng mathematischen Regeln und mathematischen Begriffen (Fachsprache) Schritt für Schritt begründet. Dabei steht die formale Darstellung im Vordergrund.
    - Intersubjektive Gewissheit da formal-symbolische Sprache (für alle, die die Sprache verstehen) ohne weitere Elaboration nachvollziehbar ist
    - Transformation der Argumente von der inhaltlich-semantischen Ebene auf die algorithmisch-syntaktische Ebene

Basic needs

(vgl. Deci & Ryan (1993, 2002); Krapp et al. (2014))
Die Basic Needs bilden das Herzstück der Selbstbestimmungstheorie und setzen drei Grundbedürfnisse eines Menschen fest, die dazu benötigt werden sich selbst als selbstbestimmt wahrzunehmen.
Zu den Basic Needs zählen das sog. Kompetenzerleben, die Autonomie und die soziale Eingebundenheit.
Im Kompetenzerleben kommt der Wunsch eines jeden zum Ausdruck, sich selbst als wirksam zu erleben. Man möchte also gegebene Aufgaben und Anforderungen von selbst bewältigen können oder falls die eigenen Kompetenzen noch nicht ausreichend dafür sind, die noch fehlenden Kompetenzen auf jeden Fall aus eigener Kraft erwerben.
Das zweite psychologische Grundbedürfnis wird mit dem Begriff Autonomie beschrieben. Dahinter versteckt sich das Bedürfnis eines jeden Menschen, Ziele und Vorgehensweisen nach Möglichkeit selbst zu bestimmen. Dies geht jedoch nicht so weit, dass die völlige Unabhängigkeit von anderen Personen angestrebt wird, sondern das Bedürfnis nach Autonomie ist eng an das Bedürfnis nach Kompetenzerleben gekoppelt.
Zuletzt wäre da noch die soziale Eingebundenheit als drittes psychologisches Grundbedürfnis. Diese beschreibt, dass jeder Mensch das Gefühl haben möchte, in seiner sozialen Umgebung akzeptiert und anerkannt zu sein.
In der Literatur werden die Basic Needs als Antriebsfaktoren bezeichnet, die ihre Wirkung in der Regel unterhalb der Bewusstseinsschwelle ausüben. Sie sind Teil eines weitgehend automatisiert ablaufenden psychischen Rückmeldesystems, welches dem Organismus kontinuierlich Signale über die Qualität der gegenwärtig ablaufenden Person-Umwelt-Interaktion liefert. Diese Rückmeldungen verbleiben im Hintergrund des Bewusstseins und erzeugen lediglich eine emotionale Gesamtbewertung des Handlungsgeschehens. Langfristig jedoch bilden diese Rückmeldungen die Grundlage für die Herausbildung gegenstandsspezifischer Präferenzen oder Aversionen (z. B. Interesse oder Desinteresse für ein bestimmtes Schulfach).

Behaviorismus

(Edelmann & Wittmann, 2012, S.245)
"Der Behaviorismus grenzt aus methodologischen und wissenschaftstheoretischen Gründen innerpsychische Vorgänge wie Vorstellungen, Denken, Gefühl, Wollen usw. aus dem Gegenstandsbereich der Psychologie aus ("Black Box").
Als objektive Verhaltenslehre mit experimentell-naturwissenschaftlicher Methodik werden nur äußerlich wahrnehmbare Aktivitäten des Organismus betrachtet."

Beweisen lernen und lehren nach dem Vorbild von Expertinnen und Experten

1. Entwicklung einer Behauptung und Identifikation möglicher Argumente
Die Exploration und Einsicht der Problemstellung sowie das Aufstellen von mathematischen Vermutungen ist Teil der ersten Phase. Auch werden mögliche Argumente und Informationen gesammelt, die für das Beweisen der Behauptung relevant sein könnten. Empirisches Arbeiten und induktive Denkschritte charakterisieren die Entwicklung von Hypothesen.
In der Schule wird die Problemsituation in der Regel vom Lehrenden initiiert. Die Lernenden sollen daraus Behauptungen und Vermutungen aufstellen.
2. Formulierung der Hypothese/Behauptung, die den formalen Konventionen entspricht
Inhalt der zweiten Phase ist, Struktur und Klarheit in die Beweisführung zu bringen. Die aufgestellten Behauptungen werden geordnet und das zu erreichende Ziel des Beweisprozesses festgelegt. Dabei wird auf die exakte mathemaische Formulierung der Behauptung geachtet.
In der Schule geht es vor allem darum, die aufgestellten Vermutungen formal-symbolisch, in Alltagssprache oder mit wissenschaftlichen Begriffen zu formulieren. Dies ist abhängig vom Leistungsstand der Lernenden.
3. Exploration der Hypothese/Behauptung und mögliche Argumentverknüpfung
Es werden Heuristiken verwendet, um den Zusammenhang zwischen der Behauptung und der Theorie zu prüfen. Auch der Inhalte der Behauptung wird analysiert und geeignete Methoden zur Lösung des Problems in Betracht gezogen. Die ausgewählten Methoden müssen dabei nicht exakt auf die Problemstellung zugeschnitten sein. Es können auch Einschränkungen, Spezialfälle oder Verallgemeinerungen als Ergebnisse dieser dritten Phase entstehen.
Hinsichtlich der Schule sollen die Lernenden ihre Vermutungen bezüglich den Voraussetzungen klären. Im Vordergrund stehen dabei die Bezüge zu mathematischen Konzepten. Argumente für mögliche Begründungen werden gesammelt, sich jedoch noch nicht auf eine Methode festgelegt.
4. Auswahl von Argumenten und ihre Verknüpfung in einer Kette von Deduktionsschlüssen
Die in Phase 1-3 ausgewählten und entwickelten Argumente werden gesammelt, analysiert und gewertet. Es wird entschieden ob die Argumente für die Problemlösung relevant sind oder nicht. Irrelevante Aspekte werden verworfen. Ziel dieses Vorgehens für die Lernenden ist es, die konkrete Struktur der Lösungsidee zu erkennen.
5. Organisation der Argumente in einem Beweis
Die relevanten Aspekte werden sortiert und in eine logische Reihenfolge gebracht. Dabei wird auf die korrekte Einarbeitung inhaltlicher und formaler Voraussetzungen geachtet. Auch einfache Regeln und verwendetet Definitionen/Sätze werden dabei nicht nur hingenommen, sondern auch begründet. Für die Schule bedeutet dies, dass auch die verwendeten "Werkzeug" (bereits bekannte Sachverhalte) zum Führen des Beweises beschreiben und erklärt werden sollten.
6. Annäherung an einen formalen Beweis
Der Beweis wird nun formal korrekt nach den fachmathematischen Formulierungen aufgestellt. Das Ausmaß der mathematischen Korrektheit eines Beweises in der Schule ist abhängig von der Jahrgangstufe und dem Leistungsstand der Lernenden.
Ergänzend ist zu erwähnen, dass bei der Bearbeitung eines Beweises, vor allem in der Schule, die Reihenfolge der einzelnen Phasen nicht fixiert ist und gegebenenfalls Schleifen auftreten könne. Möchte man das Modell so gut wie möglich an den Mathematikunterricht anpassen, so könnte man eine 7. Phase hinzunehmen. Diese ist wie folgt definiert:
7. Akzeptanz durch die mathematische Community
Der geführte Beweis wird gemeinsam mit den Lehrenden von den Lernenden ausgewertet. Die verwendeten Argumentationen werden geprüft und validiert.

Bezugsnorm

Inhaltliche Bezugsgröße, also einen Standard, mit dem man eine erbrachte Leistung vergleichen kann. Dieser Vergleich kann sozial, individuell und kriterial erfolgen.

Bildungsstandards

Die von der KMK (Kultus-Minister-Konferenz vom 18.10.2012) festgelegten Bildungsstandards sollen eine einheitliche Vorgabe darstellen, in der festgelegt ist, welche fachspezifischen Kompetenzen die Lernenden bis zu einer gewissen Jahrgangsstufe entwickelt haben sollen. Diese sind im bayrischen Lehrplan für die Allgemeine Hochschulreife mit eingebunden und verfolgen hauptsächlich folgende Ziele:
  • Sicherung der Bildungsqualität und Effektivität
  • Transparenz Schulischer Anforderungen
  • Kompetenzorientierter Unterricht
  • Einheitliche Basis schaffen für eine Überprüfung von Ergebnissen
Im Fach Mathematik werden die zu erreichenden Kompetenzen in "Allgemeine mathematische Kompetenzen" (K1 - K6) und "Leitideen (Inhaltsbezogene Kompetenzen)" (L1 - L5) gegliedert. Dabei wird zusätzlich zwischen drei verschiedenen Anforderungsniveaus (kognitive Ansprüche) unterschieden (Link zu KMK 2012).
Allgemeine mathematische Kompetenzen:
  • K1 Mathematisch argumentieren
  • K2 Probleme mathematisch Lösen
  • K3 Mathematisch modellieren
  • K4 Mathematische Darstellungen verwenden
  • K5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • K6 Mathematisch kommunizieren
Leitideen (Inhaltsbezogene Kompetenzen):
  • L1 Algorithmus und Zahl
  • L2 Messen
  • L3 Raum und Form
  • L4 Funktionaler Zusammenhang
  • L5 Daten und Zufall
Anforderungsniveaus:
  • Anforderungsniveau 1 (Reproduzieren von Sachverhalten)
  • Anforderungsniveau 2 (Zusammenhänge herstellen)
  • Anforderungsniveau 3 (Verallgemeinern, Reflektieren)
Die einzelnen mathematischen Kompetenzen sind nicht stark voneinander abgegrenzt wodurch in der Praxis Aufgaben in der Regel mehrere Kompetenzen mit aufgreifen.

Das Problemlösemodell von Mason, Burton und Stacey

(vgl. Mason/Burton/Stacey 1985)

Mason, Burton und Stacey entwickelten ein Problemlösemodell, dass in drei Phasen untergliedert ist, nämlich in die Planung, Durchführung und den Rückblick. Diese drei Phasen sind von zwei grundlegenden Handlungen geprägt, nämlich vom Spezialisieren, das einen Zugang zur Aufgabe ermöglichen soll, und dem Verallgemeinern, das eine gewinnbringende Reflexion fördern soll. Der Problemlöseprozess ist in jeder Phase durch drei Schlüsselbegriffe beschreibbar. In der Planungsphase soll sich der Problemlöser die Fragen stellen: Was ist bekannt? Was ist das Ziel? Welche Hilfsmittel habe ich zur Verfügung? Während der Durchführung ist sein Handeln geprägt von Versuchen, von neuen Ideen (Vielleicht klappt ja...?) und Sackgassen (Warum ist .... nicht ...?). Dabei kann eine Sackgasse wieder zurück zur Planung führen und der Kreislauf geht von neuem los. In der Rückschau testet man schließlich seine Lösung und denkt über mögliche Verallgemeinerungen nach.

Erklärungen zu den einzelnen Phasen und Begriffen:

Zum Einstieg in die Aufgabe:
  • Spezialisieren: Dies kann willkürlich, systematisch oder mit einer bestimmten Zielsetzung geschehen.
  • Verallgemeinern: Man macht sich Gedanken darüber, was warscheinlich ist, warum es warscheinlich ist und wo es warscheinlich ist.
Schlüsselwörter:
  • Bekannt: Frage gründlich durchlesen; Spezialfälle anschauen, um zu verstehen worum es geht; relevante Ideen und Tatsachen finden; sich an ähnliche Fragen erinnern
  • Ziel: Informationen ordnen; auf Zweideutiges achten; Spezialfälle betrachten, um zum Kern vorzustoßen
  • Hilfsmittel: Bilder; Modelle; Symbole; Bezeichnungen; Tabellen
  • Test: Berechnungen zur Überprüfung der Logik; Plausibilitätskontrollen; Aufgabe wirklich gelöst?
  • Nachdenken: über entscheidende Ideen; über Konsequenzen der Lösung
  • Verallgemeinern: Lösung in größeren Zusammenhang stellen; neue Lösungswege suchen; Voraussetzungen abändern
Prozesse:
  • Vermuten: Zyklischer Vorgang; Analogien; Systematisches Spezialisieren
  • Beweisen: Erklären; sich selbst wie einen Feind kritisieren; Struktur

Die natürlichen Zahlen

Durch die Methode des Zählens und die Entwicklung der Schrift entstanden mit der Zeit die natürlichen Zahlen. Sie sind also ein Produkt der Evolution des Menschen. Die heute verwendeten Ziffern 0 , 1 , 2 , . . . für die natürlichen Zahlen N sind um 400. v.Chr. in Indien entstanden. Dabei wurde viele Jahrhunderte lang die 0 nur als ein Symbol gesehen und nicht als eine Zahl. Bestreben vieler Mathematiker war es, die natürlichen Zahlen mit Hilfe sogenannter Axiome zu beschreiben. Unter einem Axiom versteht man in der Mathematik einen mathematischen Grundsatz, der nicht bewiesen werden kann (Reiss, 2014). Ein Axiomensystem besteht aus mehreren Axiomen. Der italienische Mathematiker Guiseppe Peano (1858-1932) verfasste ein solches Axiomensystem, welches sich bis heute durchgesetzt hat. Diese Axiome werden Peano−Axiome genannt und können als "Spielregeln" für den Umgang mit den natürlichen Zahlen angesehen werden.

Dimensionsmodell mathematischen Denkens

Der komplexe Begriff des mathematischen Denkens lässt sich aus fachlicher Sicht in drei Dimensionen gliedern.
1. Prozessbezogenes Denken
Wenn Lernende eine Mathematikaufgabe bearbeiten, so durchlaufen sie einen Prozess mathematischen Denkens. Dieser Prozess kann verschiedene Ausprägungen annehmen. Die möglichen auftretenden Ausprägungen des Denkens der Lernenden kann man in der Dimension "Prozessbezogenes Denken" zusammenfassen.
  • Algorithmisches Denken
    (festes Vorgehen bei der Lösung einer Aufgabe: geometrisches Konstruktionsverfahren einer Winkelhalbierenden, Gleichungen mit Äquivalenzumformungen)
  • Formales Denken
    (formale mathematische Symbole, Ziffern und Variablen, mit Formeln, Terme und Gleichungen arbeiten)
  • Schlussfolgerndes Denken
    (Kausalketten, Beweisstrategien, Argumentationen verstehen und entwickeln, folgerichtig Begründen)
  • Problemlösenden Denken
    (Problemlösestrategien verwenden: systematisches Probieren, Umstrukturieren, Rückwärtsarbeiten)
  • Modellierendes Denken
    (Situationen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben, Modelle interpretieren und bewerten)
  • Begriffsbildendes Denken
    (mathematische Begriffe aus Beispielen definieren und vernetzen, Unter- und Oberbegriffe bilden)
  • Experimentierendes Denken
    (Phänomene, Situationen und Beobachtungen strukturieren, variieren und systematisieren)
2. Inhaltsbezogenes Denken
Jede Mathematikaufgabe beschäftigt sich mit einem konkreten mathematischen Inhalt. Das mathematische Denken der Lernenden ist also vom gegebenen Inhalt der Aufgabe abhängig. Dies bildet eine weitere Dimension des mathematischen Denkens, das "Inhaltsbezogene Denken", welche sich aus folgenden Facetten zusammensetzt:
  • Funktionales Denken
    (Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung, Funktionale Zusammenhänge und Abhängigkeiten von Größen mithilfe von Graphen, Wertetabellen und Funktionstermen darstellen)
  • Stochastisches Denken
    (Mit Statistiken, kombinatorischen Situationen und Wahrscheinlichkeiten umgehen)
  • Algebraisches Denken
    (Rechengesetzte anwenden und mit Termen, Gleichungen und Variablen umgehen)
  • Geometrisches Denken
    (Mit ebenen und räumlichen Körpern operieren, Ein- und Mehrdimensionale Darstellungen verwenden)
  • Numerisches Denken
    (Umgang mit Zahlen, verschiedenen Zahlensystemen, Natürliche Zahlen, negative Zahlen,...)
3. Mathematikbezogene Informationsbearbeitung
Die Wahrnehmung, die Verarbeitung, die Speicherung und der Abruf von Informationen sind wichtige Komponenten bei der Bearbeitung einer Mathematikaufgabe. Die Informationsbearbeitung ist also ein wichtiger Teil des Denkprozesses der Lernenden und bildet die dritte Dimension mathematischen Denkens:
  • Mathematisches Gedächtnis (Wissen vernetzen und flexibel abrufen, Sich mathematische Schemata, Ereignisse und Argumentationen merken)
  • Nutzung von Sprache (Fachmathematische Ausdrücke in Argumentationen und Überlegungen verwenden, Mündliche Auseinandersetzung mit Situationen)
  • Mathematische Kreativität (Phantasievolle Gedankengänge, Assoziationen und Ideen zu mathematischen Situationen entwickeln)
  • Gedankliche Flexibilität (Mathematische Situationen aus verschiedenen Perspektiven betrachten, Blickwinkel ändern, gedankliche Prozesse umstrukturieren)
  • Bewältigung von Komplexität (Informationen aus komplexen Aufgaben herausarbeiten und strukturieren, mit Gedanken parallel operieren)
  • Denken mit mathematischen Mustern (Aus Beispielen allgemeine Muster erkennen, Verallgemeinern und Konkretisieren von Situationen, Analogien erkennen)
  • Mathematische Sensibilität (Ein "Feingefühl" für die Mathematik entwickeln, Mathematik aus der Umwelt wahrnehmen, Struktur von Problemen erkennen)
Die Ausprägung der verschiedenen Facetten ist vom Entwicklungsstand der Lernenden abhängig. Zwischen den Facetten herrscht ein fließender Übergang und eine gegenseitige Einflussnahme. Das bedeutet, dass in Mathematikaufgaben Facetten in der Regel in Kombination auftreten.

Dublin Core Metadata

Der Dublin Core Standard definiert einen Satz Metadaten für die Beschreibung von Mediendaten.

>> Zur Übersicht

Entwicklung mathematischen Denkens bei Kindern und Jugendlichen

Wie entsteht mathematisches Denken und welchen Einfluss hat es auf das Beweisen/Argumentieren?

Zu der Entwicklung des Denkens von Kindern und Jugendlichen gibt es verschiedene Ansichten und Modelle. Eines der bekanntesten Modelle ist von J. S. Bruner. Die Modelle von H. Aebli und J. Piaget (Lohaus, 2015) sind ebenfalls mögliche Ansätze zur Denkentwicklung (Reiss, 2013).
Diese Modelle können als Basis verwendet werden, um die mathematische Denkentwicklung der Lernenden in den jeweiligen Jahrgangsstufen einzuschätzen und die Aufgaben dementsprechend bestmöglich anzupassen.

Beweisen und Argumentieren nach Bruner

Beweise und Argumentationen können auf allen drei Ebenen im Unterricht durchgeführt werden, wobei ein Transfer zwischen den Ebenen besonders kompetenzförderd ist.
Bruner Ebenen
Die drei Ebenen sind:
  1. Enaktive Ebene: Sachverhalte werden durch eigene Handlungen erschlossen. Dominierend vor allem bei jungen Kindern.
  2. Ikonische Ebene: Verstehen von Sachverhalten durch Bilder oder Graphiken. Dominierend bei Jugendlichen und jungen Erwachsenen.
  3. Symbolische Ebene: Das Abstrakte steht im Vordergrund. Dominierend bei Jugendlichen und jungen Erwachsenen.
Die enaktive Ebene wird vor allem dann verwendet, wenn neue Inhalte mithilfe von Beweisen und Argumentationen erschlossen werden. Dies dominiert zwar bei Kindern, führt allerdings auch bei jungen Erwachsenen zu einem schnelleren Verständnis der Sachverhalte. Entscheidend ist auch ein verknüpftes Betrachten der Ebenen. Die Lernenden sollen den Transfer bewusst trainieren.
Beispiel:
Der Umfang des Trapezes ist größer als die Summe der beiden Diagonallängen.
zu 1. Enaktiv: Die Längen werden mit einer Schnur gespannt und verglichen. (Handelnd)
zu 2. Ikonisch: Verstehen der Zusammenhänge anhand von Skizzen. (Bildlich)
zu 3. Symbolisch: Die Bedingung wird formal hergeleitet. Aufstellen von Gleichungen. (Verbal und formal)

Erlernen von Heurismen

(vgl. Schoenfeld 1985, Bruder 2003, Komorek 2006)
Sobald die wichtigsten heuristischen Strategien und Prinzipien entdeckt wurden, sollte der Lehrende diese durch direkte Instruktion den Lernenden erklären und bewusst machen. Erst dann können die Lernenden diese frei benutzen ohne sich vor jeder Problemaufgabe auf die mühselige Suche nach der richtigen Strategie machen zu müssen.

Wie werden Heurismen erlernt?

Heurismen können in vier Etappen erlernt werden:
  1. Reflektion: Gewöhnung an heuristische Methoden und Techniken, heuristische Techniken werden implizit verwendet, aber nicht thematisiert. Die Lernenden sollten ausreichend Gelegenheit bekommen, selbst mathematische Fragen zu finden und zu formulieren.
  2. Strategiegewinnung: Bewusstmachen einer speziellen Methode oder Technik anhand eines markanten Beispiels. Zum Erlernen der Heurismen bietet es sich an, diese anhand einer Musteraufgabe bewusst einzuüben bis sie unbewusst angewendet werden können. Diese Musteraufgabe fungiert dann als eine Art "Eselsbrücke". Es werden Beispiele zusammengestellt, in denen die Strategie bereits intuitiv angewendet wurde.
  3. Bewusste Übungsphase: kurze Übungen zur neu erlernten Methode bzw. Technik, die in verschiedenen Aufgabenvarianten angewendet werden. Die individuellen Vorlieben für einzelne Strategien und die Anwendungsvielfalt sollen bewusst werden. Die Lernenden sollen Gelegenheit haben, Lösungswege selbst zu suchen. Das individuelle Problemlösemodell wird mit den neuen Heurismen angereichert, indem die Fragetechnik angewandt wird.
  4. Kontexterweiterung durch flexible Strategieanwendung: vertiefende Übungen, in denen die unbewusste flexible Stategieanwendung, d.h. eine Prozedualisierung, angestrebt wird. Die neue Strategie erhält ihren Platz in den allgemeinen Vorstellungen, wie man Probleme löst.

Feedback

Allgemeingültige Rahmendefinition:
„Feedback ist die bewusste Rückmeldung von Informationen an eine Person zu ihrem vorherigen Verhalten.“ (Müller & Ditton, 2014, S. 24)
Rücken wir den Feedbackbegriff in den Schulkontext, bietet sich die folgende Definition an, die die Idee der "Lücke" nach Sadler (1989) aufgreift:
In einem Lernprozess führt das Feedback, das die Lehrperson einem Lernenden gibt, im Optimalfall dazu, die Lücke zwischen dem, wo der Lernende IST (aktuelles Verständnis und Leistung), und dem, wo er sein SOLL (Lernintention/-ziel), zu verkleinern. Damit dies gelingt, muss die Lehrperson das IST und SOLL gut einschätzen können, sowie in der Lage sein, dem Lernenden das SOLL klar zu kommunizieren und transparent zu machen. (vgl. Hattie, 2014, S.131)

Fermi und seine speziellen Aufgaben

Enrico Fermi war ein italienischer Kernphysiker und Nobelpreisträger (1901-1954) und bekannt für seine schnellen und mathematisch korrekten Schlussfolgerungen von allgemeinen Problemen (Düringer, 2015).

Fermi Aufgaben lassen sich durch die folgenden Eigenschaften charakterisieren:

  • Das Ausgangsproblem scheint mit zu wenigen gegebenen Informationen vorerst unlösbar (Lernende müssen sich erstmal darauf einlassen).
  • Die fehlenden Informationen für einen möglichen Lösungsweg müssen erarbeitet bzw. geschätzt werden (Befragen von Experten, Vermutungen aufstellen, Annahmen aus Alltagssituationen).
  • Daten, oft Zahlen, können nur überschlagen werden.
  • Ein wichtiger Aspekt ist: Es gibt nicht eine richtige Lösung, sondern viele mögliche Lösungswege!
  • Die meist unterschiedlichen Ergebnisse sollten diskutiert und auf Plausibilität überprüft werden.
Beispiele für Fermi-Aufgaben:
  • Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? (Eine der bekanntesten Fragen von Fermi)
  • Wie viel wiegen alle Lernenden deiner Schule zusammen?
  • Wie viele Autos stehen in einem 5 km langen Stau?
  • Wie viele Nadeln hat der Weihnachtsbaum eurer Schule?

Fähigkeitsselbstkonzept

(vgl. Byrne & Shavelson, 1986; Krapp et al., 2014; Wild et al., 2006)

Geistige Beweglichkeit

(vgl. Lompscher 1976, Bruder 2003, Komorek 2006) Grundelemente geistiger Tätigkeit:
  • Inhalt: Das Subjekt spiegelt die objektive Realität wieder. Darunter versteht man Sach-, Verfahrens-, Norm- und Wertkenntnisse und objektive Stellungnahmen.
  • Motivation: Dazu gehören Einstellungen zur geistigen Tätigkeit, Sachinteressen, Einstellung zu sich selbst und zur Umwelt und zu anderen Menschen. Davon beeinflusst ist das Ziel der geistigen Tätigkeit.
  • Verlauf: Er wird festgelegt durch geistige Operationen (Handlungen), deren Verlaufsqualität und die Einstellungen der geistigen Tätigkeiten.
  • Ziel: Das Handlungsziel entspricht dem vorweggenommenen Ergebnis der Handlung.
  • Resultat: Jede Tätigkeit ist zum einen ein Ergebnis hinsichtlich psychischer Entwicklung, als auch ein Gebrauchswert. Ein Resultat wirkt sich immer auch auf die Motivation aus.
Verlaufsqualitäten:
  • Planmäßigkeit: Dies meint die Fähigkeit, einen Lösungsplan im Gesamten zu verstehen und die Teilschritte angeben zu können.
  • Exaktheit: Die meint die Fähigkeit, die Bestandteile eines Problem klar zu erkennen und das Wesentliche herauszufiltern.
  • Selbständigkeit: Darunter fallen das eigenständige Erkennen und Formulieren von Problemen, die Bewältigung dieser und die Kritikfähigkeit gegenüber eigenen und fremden Lösungswegen.
  • Aktivität: Dies bedeutet, wie intensiv sich der Lernende mit dem Problem und dessen Lösung auseinandersetzt.
  • Geistige Beweglichkeit: Dies meint die Fähigkeit, zwischen unterschiedlichen Aspekten der Betrachtung eines Sachverhaltes wechseln zu können und diesen in verschiedenen Zusammenhängen einbetten zu können. Darunter fällt auch, die Relativität von Sachverhalten ud Aussagen korrekt zu erfassen.
Allgemeine Formen geistiger Beweglichkeit:
  • Reduktion: Die Lernenden reduzieren das Problem intuitiv richtig auf das Wesentliche, können gut fokussieren.
  • Reversibilität Die Lernenden können sehr gut Gedankengänge rückwärts nachvollziehen. Sie tun das in geeigneten Situationen automatisch. Im Alltag wird diese Fähigkeit auch benötigt z.B beim Suchen eines verlorenen Schlüssels.
  • Aspektbeachtung: Sie beachten mehrere Aspekte des Problems gleichzeitig oder erkennen die Abhängigkeiten von Dingen leicht und variieren sie gezielt.
  • Aspektwechsel: Sie wechseln gegebenenfalls die Annahmen oder Kriterien, um der Lösung auf die Spur zu kommen. Es werden intuitiv verschiedene Aspekte des Problems betrachtet, was ein Steckenbleiben vermeidet oder überwindet.
  • Transferierung: Gute Problemlöser können leichter ein bekanntes Vorgehen auf einen anderen, machnal sogar sehr verschiedenen Kontext übertragen. Sie erkennen den übertragbaren "Kern" der Aufgabe.
Ungeschulte Problemlöser können oft nicht bewusst auf diese Strategien und Fähigkeiten zugreifen. Daher können Lernende oft nicht erklären, wie sie eine Problemaufgabe eigentlich gelöst haben.

FÖRDERUNG DER GEISTIGEN BEWEGLICHKEIT

(vgl. Lompscher 1996, Komorek 2006) Zur Förderung der geistigen Tätigkeit im Lernprozess gibt es folgende Möglichkeiten:
  • Die Lernenden sollen einen möglichst hohen Eigenanteil bei der Auseinandersetzung mit den Problemsituationen haben. Steuerung erfolgt nur, um die Selbstständigkeit weiter zu entwickeln.
  • Der Lernprozess zum Problemlösen soll derart gestaltet sein, dass die geistige Tätigkeit aktiviert wird.
  • Die Anforderungen sollen systematisch gesteigert werden, damit hohe Anforderungen wieder zu niedrigen werden. Daraus resultierende Fehler sollten analysiert und als Lerngelegenheit genutzt werden.
  • Die Lernenden sollen zur Entwicklung der Selbstständigkeit angeleitet werden.

Gordons Synektik

(vgl. Dörner 1976) Gordons Synektik von 1961 ist ein Tool, das den Einstieg in den Problemlöseprozess erleichtern soll. Er bietet sich vor allem für die Arbeit in Kleingruppen an. Die Synektik wird in drei Phasen unterteilt:
  1. Vorbereitung Die Problemaufgabe wird gestellt und anschließen analysiert, bis jedes Gruppenmitglied verstanden hat, was das Problem ist. Danach schließt sich eine Phase der "Reinigung" an, in der alle ersten Ideen zum Problemlösungsweg in der Gruppe diskutiert und bewertet werden. Hier kommt es selten zu einer erfolgreichen Lösungsidee, dennoch ist die Phase nützlich, um das Problem tiefer zu durchdringen und ersten Impulsen nicht Hals über Kopf zu folgen.
  2. Suche nach Analogien Anschließend versuchen die Gruppenmitglieder eine bereits bekannte Analogie auf das neue Problem anzuwenden. Es werden drei verschiedene Arten von Analogien unterschieden:
    • direkte Analogie: Eine Beziehung zwischen zwei Sachverhalten wird von einem Bereich auf einen anderen übertragen.
    • persönliche Analogie: Das Gruppenmitglied versetzt sich in das Ding, den Vorgang oder den Prozess hinein.
    • symbolische Analogie: Ein Sachverhalt wird mit einer möglichst treffenden, lustigen, auch in sich widersprüchlichen Formulierung umschrieben.
  3. Auswertung Es wird versucht, die neu gefundenen Gedanken auf das Problem anzuwenden und nutzbar zu machen.

Gruppenarbeit

(vgl. Zech 1996)
Wann funktioniert Gruppenarbeit?
Die Überlegenheit der Gruppe ist nur gesichert, wenn...
  1. die Gruppenteilnehmer hinsichtlich ihrer Leistungen in ständiger Kommunikation stehen
  2. die Gruppe richtige Teillösungen akzeptiert, also nicht in Vorurteilen über die Leistungsfähigkeit und Informiertheit eines ihrer Mitglieder befangen ist
  3. die Mitglieder unabhängig voneinander arbeiten, d.h. dass die Mitglieder nicht einfach nachmachen, was andere vormachen
  4. 4-6 Lernende pro Gruppe sind, um genügend Ideenreichtum zu generieren
Was sind die Vorteile von Gruppenarbeit?
  • mehr aktive Beteiligung von Lernenden
  • Förderung der Kooperationsfähigkeit der Lernenden untereinander
  • Förderung der Verbalisierungsfähigkeit der Lernenden und besseres Verstehen durch Kommunizieren
  • weniger Korrektureingriffe des Lehrenden, mehr Selbstregulierung der Lernenden, generell mehr Selbständigkeit
  • Möglichkeit, Ideen oder Konzepte zu besprechen, ohne dies gleich vor allen tun zu müssen
  • eher Gelegenheit für individuelle Hilfe und Beobachtung des Lehrenden
  • Tendenzieller Ausgleich von Leistungsunterschieden
Welche Kooperationshandlungen geschehen in der Gruppenarbeit?
(nach Lange 2014)
  • Erklären: Eine Person vermittelt der anderen ihren Wissensvorsprung, ohne dabei direkt die Lösung zu verraten.
  • Vorsagen: Eine Person gibt etwas direkt und nachsagefertig weiter. Dieser Austausch ist weniger intensiv.
  • Abgucken: Durch Blicken auf die Aufzeichungen des Partners werden Informationen ohne Erklärung weitergegeben.
  • Vergleichen: Nach Lösung der Aufgabe werden die Ergebnisse beider Partner verglichen.
  • Erfragen: Eine Person bittet den Partner um Hilfe und erwartet eine Erwiderung.

Heuristische Hilfsmittel

Die informative Figur

Oft hört man im Mathematikunterricht vor dem Bearbeiten einer Aufgabe: "Mach dir doch erst einmal eine Skizze!". Doch auch hier muss man den Lernenden erst einmal zeigen, was eine wirklich sinnvolle Skizze eigentlich ausmacht. Erst dann können sie Nutzen daraus ziehen.
Beispielaufgabe (nach Bruder 2003):
Zwei Planeten umkreisen ihren Stern auf der gleichen Umlaufbahn. Sie fahren in entgegengesetzte Richtungen. Der erste Planet braucht für die Umrundung 3 Tage, der zweite braucht 5 Tage. Wie viel Zeit verstreicht zwischen zwei Begegnungen?

Tabellen

Besonders bei Aufgaben zum systematischen Probieren oder bei Aufgaben mit vielen Daten, die eine Zuordnung vermuten lassen, bietet sich das Erstellen einer Tabelle an.
Beispielaufgabe (nach Bruder 2003):
Als mein Vater 31 Jahre alt war, war ich 8 Jahre alt. Jetzt ist mein Vater doppelt so alt wie ich. Wie alt bin ich jetzt?

Heuristische Prinzipien

Analogien

Analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein (Pólya, 2010). Nach der Lösung einer einfacheren, analogen Aufgabe hat man ein Vorbild für die schwierigere Aufgabe, dem man folgen kann. Man kann ihre Lösung, ihr Resultat oder beides verwenden.

Invarianzprinzip

Unveränderliche Variablen stecken in den meisten Aufgaben offensichtlich drin. Manchmal kommt man jedoch nicht umhin, sich eine Invariante zu konstruieren. Mit den Fragen "Was ändert sich nicht?" und "Was haben alle Objekte gemeinsam?" kann die Invariante gefunden werden.

Beispielaufgabe (nach Bruder 2003):

Wie kann man sich die beiden Telefonnummern 29 22 15 und 30 37 44 am besten merken? Bilden Sie eine möglichst einfache Bildungsvorschrift.

Hier muss man die Invariante der Differenz 7 zwischen den Zahlen entdecken.

Heuristische Strategien

Vorwärts- vs. Rückwärtsarbeiten

Vorwärts: Problemlösen beginnt mit der gegebenen Information, leitet aus ihr neue Sachverhalte ab, stellt Gleichungen und Relationen auf und vereinfacht Ausdrücke.
Rückwärts: man geht vom Gesuchten aus. Man untersucht Sachverhalte, aus denen sich das Ziel erschließen lässt. Diese Sachverhalte werden zum neuen Ziel und der Prozeß wird so lange fortgesetzt, bis man auf die Voraussetzung oder etwas bereits Bewiesenes stößt.
Beispielaufgabe (nach Pólya 2010):

Man hat zwei leere Eimer mit einmal 9 l und einmal 4 l Volumen. Man möchte exakt 6 l abmessen, aber die Eimer haben keine Skalen.

Vorwärtsarbeiten wäre, einfach auszuprobieren. Man füllt den 4-l-Eimer und schüttet ihn in den anderen hinein. Dann hat man noch restliche 5 l leer. Wenn diese Idee nicht klappt, verwirft man sie und fängt von vorne an.

Rückwärtsarbeiten wäre, sich zu überlegen, welcher Endstatus ereicht werden soll. Dieser wäre 6 l in dem großen Eimer und ein leerer kleiner Eimer. Wie kommt man zu den 6 l? Man bräuchte eine Möglichkeit, von dem vollen großen Eimer 3 l abzugießen. Wie schafft man es, dass in dem kleinen Eimer nur 1 l drin ist, damit exakt 3 l noch hineinpassen? Man füllt den großen Eimer und gießt zwei mal 4 l mit Hilfe des kleinen Eimers weg. Am Ende bleibt 1 l im großen Eimer zurück.

Individuelle Lernvoraussetzungen

Was sind individuelle Lernvoraussetzungen und welche Bedeutung haben diese auf das Führen von Beweisen und Argumentationen im Unterricht?
Aus didaktischer Sicht sind für den richtigen Einsatz von Beweisaufgaben und Argumentationen im Unterricht besonders die individuellen Lernvoraussetzungen der Lernenden innerhalb einer Jahrgangsstufe und Klasse zu berücksichtigen (Reiss, 2013).
Die individuellen Lernvoraussetzungen, die Lernende im Unterricht und beim Führen von Beweisen und Argumentationen aufweisen können, setzen sich aus drei Säulen zusammen. Anhand dieser kann der Lehrende die Beweise und Argumentationen für den Unterricht auswählen und anpassen.
Um zu einer genauen Beschreibung der drei Säulen der individuellen Lernvoraussetzungen zu kommen, können Sie dem Link folgen.

Individuelle Lernvoraussetzungen von Schüler/innen

1. Kognition, Wissen und Intelligenz

Kognitionen sind mentale Prozesse, die bei einem Individuum auftreten können. Hierzu gehören beispielsweise Informationsverarbeitungsprozesse, wie altes Wissen mit neuem zu verknüpfen, als auch interne Vorstellungen von Sachverhalten.
Wissen wird grob unterteilt in mathematische Fakten, Arbeitsweisen und Wissen um geeignete Lern- und Kontrollstrategien. In der Wissenschaft wird in der Regel zwischen drei Wissensarten unterschieden (Reiss, 2013):
  • deklarativem Wissen: "Wissen, dass..." (mathematische Fakten und Begriffe, Verständnis über Beziehungen und Verknüpfungen von abstrakten Begriffen, konzeptuelles Wissen)
  • prozeduralem Wissen: "Wissen, wie..." (Der Umgang mit Fakten und Begriffen, praktische und nutzbare Wissen, beispielsweise: Rad fahren)
  • metakognitives Wissen: "Wissen über Wissen" (Wissen über Lernstrategien, Techniken der Regulierung, Wissen über die eigenen Kognitionen)
Epistemische Überzeugungen spielen bei metakognitivem Wissen eine wichtige Rolle. Unter dem Begriff versteht man die Einstellung eines Individuums zu einem Sachverhalt. Epistemische Überzeugungen unterliegen einem nicht bewussten Entwicklungsprozess und sind relativ stabile kognitive Strukturen.
Zu bemerken ist, dass der Wissensstand der Lernenden in einer Klasse ungefähr gleich sein sollte, da sie den selben Mathematikunterricht besuchen. Abweichungen sind zwischen leistungsstarken- und schwachen Lernenden jedoch vorhanden.
"Intelligenz ist die Fähigkeit eines Menschen zur Anpassung an neuartige Bedingungen und zur Lösung neuer Probleme auf der Grundlage vorangegangener Erfahrungen im Gesellschaftlichen Kontext" (Gruber 2009, S. 31). Um den komplexen Begriff der Intelligenz besser fassen zu können, unterteilte ihn Thurstone, ein amerikanischer Ingenieur und Psychologe, in sieben Komponenten (Lohaus, 2015):
  1. Räumliches Vorstellungsvermögen
  2. Schlussfolgerndes Denken
  3. Merkfähigkeit
  4. Wahrnehmungsgeschwindigkeit
  5. Rechenfähigkeit
  6. Sprachverständnis
  7. Wortflüssigkeit
Es herrscht eine positive Korrelation zwischen Wissen und Intelligenz. Zu bemerken ist, dass diese Komponenten auf Theorien basieren und noch nicht empirisch belegt sind.
Die Herausforderung der Lehrende in der Auswahl der Beweise und Argumentationen besteht darin, einen passenden Mittelweg zu finden, sodass die starken Lernenden nicht unterfordert und die schwachen Lernenden nicht überfordert sind.

2. Motivation, Interesse und Emotionen

Die Motivation von Lernenden lässt sich unterteilen in Lernmotivation und Leistungsmotivation.
  • Die Lernmotivation ist charakterisiert durch den Wunsch und die Absicht Inhalte zu verstehen. Seitens der Lernenden wird bei einer Lernmotivation aus reiner "Lust am Lernen" und ohne Zusatzbedingungen gelernt. (intrinsisch geleitete Motivation)
  • Die Leistungsmotivation äußert sich bei Lernenden durch das permanente Ziel einer guten Note oder der Vermeidung von Misserfolg. Anerkennung und Erfolg sind ebenfalls wichtige Komponenten der Leistungsmotivation. (extrinsisch geleitete Motivation)
Man kann die Vermutung aufstellen, dass Lernmotivation einen positiveren Effekt auf das Lernverhalten hat. Dies kann sich durch ein größeres Durchhaltevermögen und durch ein längeres Behalten der Lerninhalte äußern.
Das Interesse an einem Sachverhalt bei Lernenden kann verschiedene Zustände annehmen, wie zum Beispiel gelegentlich, permanent, situationsabhängig oder gegenstandsspezifisch. Das Interesse an einem Inhalt kann durch verschiedene Komponenten beeinflusst werden. Nach der "Person-Gegenstands-Theorie des Interesses" (Krapp, 1992) liegen vier Bestimmungsmerkmale (Komponenten) der Interessenshandlung vor:
  1. gefühlsbezogene Komponente
  2. wertbezogene Komponente
  3. intrinsische Komponente
  4. epistemische Orientierung
Ein Interesse-fördernder Unterricht hat große Ähnlichkeit zu den Aspekten von "gutem Unterricht" (vgl. Reiss, 2013). Nach Yager und Tamir setzt sich solch ein Unterricht aus den folgenden Komponenten zusammen:
  • Zentrierung auf Lernende
  • Eingehen auf das Individuum
  • Vielfältige Unterrichtsmaterialien
  • Gemeinsames Lernen in Projekten
  • Eigenaktivität der Lernenden
  • Einbeziehen von Alltagsbeziehungen und realistischen Problemen
Eine Interessensförderung der Lernenden im Unterricht nach Schiefele sieht die gezielte Förderung der vier Faktoren vor:
  1. Kompetenzwahrnehmung
  2. Selbstbestimmung
  3. Sozialer Bezug
  4. Bedeutsamkeit des Lerngegenstands
Die Aspekte von Interesse förderndem Unterricht können auf die Auswahl von Beweisen und Argumentationen für den Unterricht in Betracht gezogen werden (z.B.: Eingehen auf das Individuum, Einbeziehen von realistischen Problemen oder Zentrierung auf Lernende). Die Komponenten dienen aber vor allem dafür, die Lernatmosphäre innerhalb einer Klasse zu verbessern und dadurch günstige Startbedingungen für die Durchführung von Beweisen und Argumentationen zu schaffen.
Emotionen, wie Freude, Angst oder Langeweile, sind ebenfalls ein wichtiger Bestandteil von erfolgreichem Lernen. Sie beeinflussen die Leistung eines Individuums und treten in der Schule oft fachspezifisch auf. Eine Studie von Götz zeigt: Freude und Konzentration hängen in einem Mathematiktest zusammen (Götz, 2004 und 2009).
Die Motivation und das Interesse von Lernenden hängen nicht zwangsläufig zusammen. Beispielsweise kann sich ein Lernender für einen mathematischen Beweis zum Satz des Pythagoras interessieren, allerdings fehlt die nötige Motivation, um ihn zu führen.
Auch kann es sein, dass Lernende motiviert sind, zum Beispiel eine Argumentation über den Zusammenhang eines Graphen und der Funktionsgleichung zu führen, mit dem Ziel einer guten mündlichen Note, sich jedoch eigentlich nicht für das Themengebiet interessieren.

3. Selbstreguliertes Lernen

"Selbstreguliertes Lernen ist ein aktiver und konstruktiver Prozess bei dem der Lernende sich Ziele für sein Lernen selbst setzt und zudem seine Kognitionen, seine Motivation und sein Verhalten in Abhängigkeit von diesen Zielen und den gegebenen äußeren Umständen beobachtet, reguliert und kontrolliert" (Otto&Perls&Schmitz 2011, S. 34). Monique Boerkaerts, eine holländischen Lern- und Motivationspsychologin, legte drei wesentliche Variablen selbstregulierenden Lernens fest:
  1. Kognitive Variable: Es werden Lernstrategien entwickelt und angewendet, passend auf die jeweilige Aufgabe. Die Strategie und Herangehensweise steht hier im Mittelpunkt.
  2. Motivationale Variable: Intrinsische Motivation und Selbstmotivierung, sowie eine gewisse Ausdauer der Motivation sind ausschlaggebend.
  3. Metakognitive Variable: Der Lernende reflektiert sich selbst und bewertet seinen Lernfortschritt, Planung und Ausführung.
Nach Boerkaerts lassen sich die Regulationsprozesse des selbstregulierten Lernens in einem "Drei-Schichten-Modell" darstellen (Wild&Möller, 2015):
  • Selbst- (Regulation eigener Aktionen, Auswahl von Zielen und Ressourcen)
  • reguliertes- (Regulation des Lernprozesses, Nutzung metakognitiven Wissens und Kompetenzen)
  • Lernen (Regulation der Informationsverarbeitung, Auswahl kognitiver Strategien)
Ein Beweis verlangt ein gewisses Maß an Motivation, die Begründung zu finden, eine strukturierte und geordnete Herangehensweise, sowie eine ständige Kontrolle der einzelnen Beweisschritte. Das selbstregulierte Lernen scheint demnach eine gute Basis darzustellen, mithilfe dessen es leichter fällt, Beweise zu führen.
Somit besteht Grund zur Annahme, dass Lernende, die die Fähigkeit des selbstregulierten Lernens bereits verinnerlicht haben, sich bei Beweisführungen leichter tun. Auch Argumentationen setzen strukturiertes Denken voraus, womit auch hier das selbstregulierte Lernen eine Rolle spielt.

Interesse

Definition

Kausalattribution

(vgl. Krapp et al., 2014; Weiner, 1975)
Attributionen sind subjektive Annahmen über die Ursachen von Erfolg und Misserfolg ("Weil-Begründungen"). Sie können in Form einer Selbstattribution von einer Person selbst für ihr eigenes Verhalten oder in Form einer Fremdattribution von einer anderen Person vorgenommen werden.

Kognitivismus

(Edelmann & Wittmann, 2012, S.248)
"Theoretischer Ansatz der Psychologie, der in Abgrenzung zum Behaviorismus entwickelt wurde." "Kognitivistische Lerntheorien zielen auf die Beschreibung, Erklärung und Veränderung kognitiver Strukturen ab. Sie gehen davon aus, dass der Mensch durch kognitive Denk- und Verstehensprozesse lernt und die über die Sinnesorgane wahrgenommenen Reize aktiv verarbeitet. Diese intrapsychischen Vorgänge werden als Informationsverarbeitungsprozesse verstanden, mit denen sich Vorgänge wie Wahrnehmung, Wissenserwerb, Planung, Einsicht und Entscheidungen erklären lassen."

Konstruktivismus

(Edelmann & Wittmann, 2012, S.249)
"Der Konstruktivismus in lernpsychologischer Hinsicht postuliert, dass menschliches Erleben und Lernen Konstruktionsprozessen unterworfen ist, die durch sinnesphysiologische, neuronale, kognitive und soziale Prozesse beeinflusst werden.
Seine Kernthese besagt, dass Lernende im Lernprozess eine individuelle Repräsentation der Welt schaffen. Was jemand unter bestimmten Bedingungen lernt, hängt somit stark, jedoch nicht ausschließlich, von dem oder der Lerneneden selbst und seinen/ihren Erfahrungen ab."

Kreativität in der Mathematik

(vgl. Leuders 2003)

Welche persönlichen Faktoren und Verhaltensmuster zeigen kreative Personen?

  • für kreative Ideen benötigt man vorallem Kombinationsvermögen, Flexibilität, Flüssigkeit und divergentes Denken
  • die Motivation für einen kreativen Prozess kommt vorallem durch Neugier, Expressivität, Durchhaltevermögen und Ambiguitätstoleranz
  • kreative Personen zeigen vorallem Nonkonformismus, Autonomie und Risikobereitschaft
  • zuätzliche Erfahrung und Orientierungswissen erhöhen den sicheren Zugriff auf kreative Prozesse
Der Mathematikunterricht muss verstärkt Raum für diese individuellen Erfahrungen und für kreative Tätigkeiten geben.

Leistungsmotivation

Definition

Lernmotivation

Modell der Denkentwicklung nach Aebli

Das Modell zur Denkentwicklung von Hans Aebli, einem Schweizer Psychologen und Schüler von J. Piaget, baut auf den Ideen von Piaget auf und bezieht sich auf die Theorien von Bruner (Reiss, 2013).
In seinem Modell steht das eigene Handeln der Lernenden im Vordergrund. Unter eigenem Handeln versteht Aebli einerseits konkrete und reale Handlungen und andererseits Denkhandlungen, die durchlaufen werden. Diese zwei Aspekte sieht er als Grundlage jeglichen Lernens.
Aebli unterscheidet, ähnlich wie Bruner, drei Stufen der Denkentwicklung:
  1. konkret
  2. figural
  3. symbolisch
Die einzelnen Stufen hängen nicht vom Lebensalter ab. Um Denkoperationen bei Lernenden zu entwickeln und zu festigen, sollte man im Unterricht drei fundamentale Ziele verfolgen. Denkoperationen sind beispielsweise das Addieren von Brüchen, das Lösen einer Gleichung oder das Darstellen eines Graphen.
  • Kompositionsfähigkeit (Flexibilität bei Problemlösungen, verschiedene Wege können zum Ziel führen)
  • Assoziativität (Basis für flexibles Denken, nicht nur mit "Kochrezepten" arbeiten)
  • Reversibilität (Umkehrbarkeit von Operationen, Rückführung auf die Ausgangsituation)
Die Entwicklung des Denkens ist schließlich die Summe von Lernprozessen. Diese lassen sich in zwei Gebiete unterteilen:
  • Spontane, ungeordnete Lernprozesse (Alltag, Freunde, Familie)
  • Gesteuerte Lernprozesse (Schule)
An dieser Stelle soll betont werden, dass der Focus auf den bisherig gesammelten Erfahrungen der Lernenden mit dem jeweiligen Themengebiet liegt. Diese Erfahrungen bilden den Ausgangspunkt, von dem aus eine Argumentation oder ein Beweis geführt werden kann.
Will man mit Lernenden einen Beweis oder eine Argumentation führen, so sollten die Erfahrungen der Lernenden zu einem Themengebiet festlegen, wie anschaulich bzw. auf welche Art der Beweis / die Argumentation durchgeführt werden sollte.

Die operative Methode nach Aebli

Die Automatisierung einer Denkoperation wird durch hierarchisches Durchlaufen aller Stufen und die gleichzeitige Verbalisierung einer Transferleistung erzeugt. Dieser Prozess wird im Folgenden dargestellt und kann im Unterricht hierarchisch durchgeführt werden:
  1. Aufbau der Operation durch konkrete Handlungen
    • Handlung wird von jedem Lernenden selbstständig durchgeführt
    • Handlung wird von einem Lernenden oder dem Lehrenden durchgeführt, während Lernende beobachten und mitdenken
  2. Konkret-handelnde Operation und vorstellende Operationen werden in Verbindung gebracht
    • Teilschritte des konkreten Handelns werden aus dem Kopf wiederholt
    • Weitere Beispiele werden zuerst im Kopf durchdacht, bevor die tatsächliche Handlung ausgeführt wird
  3. Die figurale Stufe wird mit eingebunden
    • Tatsächliche Handlung wird bildlich dargestellt
    • Figurale Darstellung wird mithilfe mathematischer Symbole ergänzt
  4. Zwischen der figuralen und symbolischen Stufe wird gewechselt
  5. Sachverhalte werden rein gedanklich nachvollzogen

Modell der Denkentwicklung nach Bruner

Jerome S. Bruner, ein amerikanischer Psychologe, entwickelte ein drei stufiges Modell der Denkentwicklung (Reiss, 2013). Der Fokus liegt dabei auf der Repräsentation von Inhalten, die sich auf unterschiedlichen Ebenen abspielen können.
Die Denkentwicklung nach Bruner wird charakterisiert durch eine immer bessere Koordination zwischen den Repräsentationsebenen, mit denen sich ein Mensch seine Umwelt erschließen kann.
  1. Enaktive Ebene: Sachverhalte werden durch eigene Handlungen erschlossen. Dominierend vor allem bei jungen Kindern.
  2. Ikonische Ebene: Verstehen von Sachverhalten durch Bilder oder Graphiken. Dominierend bei Jugendlichen und jungen Erwachsenen.
  3. Symbolische Ebene: Das Abstrakte steht im Vordergrund. Dominierend bei Jugendlichen und jungen Erwachsenen.
Die drei Ebenen sind, im Gegensatz zu Piaget, nicht zeitlich angeordnet und bauen auch nicht zwangsläufig aufeinander auf. Das hierarchische Anordnen der Ebenen kann allerdings das Lernen erleichtern und ist nicht von den Altersstufen abhängig (Reiss, 2013).
Werden die Zusammenhänge und wechselseitigen Beziehungen zwischen den Ebenen herausgearbeitet, so fällt es den Lernenden leichter, zwischen ihnen zu transferieren und zu wechseln (intermodaler Transfer).

Nutzen von dynamischen Geometriesoftware (DGS) im Unterricht (nach Roth, 2005)

Eine ansprechende Visualisierung alleine bringt noch keinen didaktischen Vorteil. Um aus der Bewegung Informationen oder Ideen für ein Argument zu erhalten, ist eine intensive Auseinandersetzung mit der Problematik notwendig. Dafür muss der Lernende zuerst Bewegliches Denken erlernen. Diese besteht aus drei Fähigkeiten:
  • In Bewegungen hineinsehen und damit argumentieren: Die Möglichkeit zur Bewegung muss erkannt werden und anschließend zur Veränderung der Argumentation beim Lösen von Problemen, Entdecken von Zusammenhängen,... genutzt werden.
  • Gesamtkonfiguration erfassen und analysieren: Die Bewegung muss auf Auswirkung auf die Gesamtkonfiguration erfasst und analysiert werden. Für die aktuelle Fragestellung relevante Aspekte müssen in den Fokus gestellt werden können.
  • Änderungsverhalten erfassen und beschreiben: Die Frage nach der Art und Weise der Veränderung wird beantwortet durch eine qualitative Erfassung und Beschreibung dieser.
Mit Hilfer dieser kann nun die DGS sinnvoll im Unterricht eingesetzt werden. Folgenden Nutzen kann man dabei daraus ziehen:
  • Eine DGS wird genutzt, um die Idee einer Argumentation zu kommunizieren.
  • Mit einer DGS erzeugte dynamische Konfigurationen können bei Beweisen eingesetzt werden, um die gesamte Beweisidee zu vermitteln, sie also auf einen Blick erfass- und verstehbar zu machen.
  • Mit einer DGS konstruierten Konfiguration können dynamische, weil variierbare und damit in ihrem Umfang und in ihren Grenzen besser erfassbare Verständnisgrundlagen für Begriffe und Eigenschaften sein.
  • Mit DGS kann man im Hinblick auf oben genannte Fähigkeiten experimentell arbeiten, um Zusammenhänge zu entdecken.
  • Einsatz der dynamischen Visualisierungen erfolgt als Reflexion von Problemlöseprozessen, in denen ohne Werkzeug gearbeitet wird und bei denen oben genannte Fähigkeiten eingesetzt werden.
Einsatz von DGS im Unterricht (nach Pallack, 2003):
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, neue Medien oder Lernprogramm in den Unterricht einzubauen. Es gibt vier verschiedene Ansätze:
  • Ergänzender Einsatz: Die Schüler nutzen im Heimbereich Lernsoftware oder DGS. Sie wirken damit direkt auf das aktuelle Unterrichtsgeschehen ein. Idealerweise leitet die Lehrperson an, welche Inhalte oder Methoden zuhause nachgearbeitet werden sollen. Dann entstehen positive Wechselwirkungen.
  • Belgeitender Einsatz: Die Softwareauswahl und der Einsatz geschehen gezielt im Unterricht. Die Lehrperson weist die Schüler an, mit einer bestimmten Software in der Schule oder zu Hause zu arbeiten. Die Lernenden können so bestimmte Inhalte im individuellen Lerntempo vertiefen.
  • Phasenweise Integration: Eine bestimmte Software kommt nur in speziellen Phasen des Unterrichtes zum Einsatz. Dies kann Neugierde und Motivation, aber auch Ablehnung und Unverständnis im Lernenden auslösen.
  • Paritätische Integration: Die Software wird konstant genutzt und steht dabei gleichberechtigt neben dem Lehrbuch.
Medienkompetenz:
In unserem heutigen Zeitalter ist es immer wichtiger, mit den Lernenden unterschiedliche Kompetenzen zur effizienten Nutzung von Lernprogrammen aufzubauen. Der Fachunterricht Mathematik soll Lernenden helfen,
  • Lernprogramme für den Mathematikunterricht angemessen zu nutzen
  • ihre eigene und selbst organisierende Nacharbeit im Heimbereich mit Hilfe von Lernprogrammen für den Mathematikunterricht zu optimieren
  • aus dem breiten Spektrum der Lernprogramme das Richtige für die jeweilige Situation auszuwählen
  • abzuwägen, ob ein Lernprogramm zur Mathematik wirklich für sie geeignet ist, um bestimmte Inhalte und Methoden zu üben und zu wiederholen
  • zwischen verschiedenen alternativen Angeboten für die Arbeit im Heimbereich das Geeignete auszuwählen

Offene Denkaufgaben

(vgl. Dörner 1976)
Der dialektische Prozess besteht sowohl aus Prüfprozessen ("Z befriedigend?", "Prüfung der Teile auf Konsistenz") und Konstruktionsprozessen ("Setzung eines Zielzustandes", "Hinzufügen konsistenter Teile").
Modell

Orientierungsfragen zur Unterstützung der Verwendung von Heurismen beim Problemlösen

(vgl. Bruder 2003)
  • Worum geht es in der Aufgabe?
  • Wie kann man mit Hilfe bekannter Begriffe das Problem verständlicher oder sogar einfacher formulieren?
  • Wie kann man die Problemstellung veranschaulichen oder anders darstellen? (Heuristische Hilfsmittel)
  • Welche ähnlichen Probleme wurden bereits gelöst? (Analogieprinzip)
  • In welche Teilprobleme kann man das Problem zerlegen? (Zerlegungsprinzip)
  • Auf welche bereits gelöste Probleme kann man Teile des Problems zurückführen? (Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes)
  • Um welchen Aufgabentyp handelt es sich? (spezielle heuristische Prinzipien nutzen)
  • Was lässt sich aus den gegebenen Angaben folgern? (Vorwärtsarbeiten)
  • Was wird benötigt, um das Gesuchte ableiten zu können? (Rückwärtsarbeiten)

Phasenmodell der Entwicklung des Denkens von Kindern und Jugendlichen nach Piaget

(vgl. Lohaus 2015 und Zech 1996)
Jean Piaget, ein Entwicklungspsychologe, entwickelte eine Theorie der Denkentwicklung, welche auf einer Wechselwirkung zwischen Individuum und Umwelt aufbaut. Durch Assimilation neuer Erfahrungen und Akkommodation bereits bestehender Schemata lernt das Individuum. Die Kombination aus diesen beiden Prozessen nennt man Äquiliberation.
Piaget unterscheidet vier Phasen der Denkentwicklung, welche in einer konkreten zeitlichen Abfolge zu sehen sind und aufeinander aufbauen. Hier werden die vier Phasen den jeweiligen Jahrgangsstufen zugeordnet und ein Bezug speziell zur mathematischen Denkentwicklung hergestellt:
1. Die sensomotorische Phase (0-2 Jahre)
Das Kind setzt sich auf begrifflich/symbolischer Ebene mit einer Problemsituation auseinander
2. Die präoperationale Phase (2-7 Jahre) (1.-2. Jahrgangsstufe)
Erkennen von Beziehungen und hierarchischer Ordnung, allerdings kein Erkennen von Gründen oder Regeln für das vorgefundene Verhalten; Fixierung auf Zustände anstelle auf den Prozess; Gebrauch von Symbolen
3. Die Phase der konkreten Operationen (7-11 Jahre) (3.-6. Jahrgangsstufe)
Entwicklung der Logik und rationalem Denken; Verstehen fundamentaler mathematischer und physikalischer Definitionen:
logische Verknüpfungen (Vereinigung von Mengen,...)
logische Relationen (Teilmenge von etwas,...)
Zahl-/ Zeit-/ Längen-/ Masse-/ Flächen- und Volumenbegriffe
=> Größter Schritt der Entwicklung mathematischen Denkens von Lernenden
4. Die Phase der formalen Operationen ( >11 Jahre) (ab der 7. Jahrgangsstufe)
Entwicklung des abstrakten und hypothetischen Denkens; Voraussetzung für fachmathematische Beweisführungen und Argumentationen
In einer weiterführenden Schule (Gymnasium, Real- und Hauptschule) kann man davon ausgehen, dass die Lernenden die ersten beiden Phasen der Denkentwicklung bereits sicher erreicht haben. Ob die Lernenden die 3. und 4. Phase bereits vollkommen ausgebildet haben, ist für den Unterricht entscheidend.
Kritikpunkte an dieser Theorie (Reiss, 2013):
- Altersangaben sind zu starr vorgegeben
- methodisches Vorgehen von Versuchsreihen umstritten
- Formulierungen der Fragestellungen nicht eindeutig
- Vernachlässigung der Entwicklung ab dem Jugendalter
=> Dieses Phasenmodell ist dennoch Grundlage weiterer didaktischer Theorien

Quellen für Problemkontexte

  • Umwelt der Schüler und des Lehrers
  • "Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht" der ISTRON Gruppe
  • Variation klassischer Schulbuchaufgaben
  • mathematikdidaktische Literaturdatei Mathdi
  • Literatur zur Heuristik und zum entdeckenden Lernen
  • Geschichte der Mathematik
  • allgemeinverständliche Literatur zur Mathematik

Selbstwirksamkeitserwartungen

(vgl. Bandura, 1977 &1997; Krapp et al., 2014; Mietzel, 2007)
Definition

Stufen des Wissenstransfers

(vgl. Steiner 2001 zitiert in Frackmann 2009)

Wissenstransfer durchschreitet von einer Basis- zu einer Zielaufgabe vier Stufen:

  1. die Stufe des Kodierens der Aufgabenmerkmale,
  2. die Stufe des Abrufens alter Informationen aus einer Basisaufgabe,
  3. die Stufe des Auswählens und Abbildens von möglicherweise brauchbarem Wissen auf die Gegebenheiten der Zielaufgabe
  4. die Stufe des Abstrahierns von Strukturen, die den Aufgaben gemeinsam sind bzw. die Stufe der Wissensintegration.

Was bedeutet Fachdidaktik?

In der Lehramtsausbildung haben die allgemeine Didaktik und die Fachdidaktik einen hohen Stellenwert. Die Fachdidaktik stellt einen Teil des Spannungsverhältnisses zwischen Allgemeiner Didaktik, Fachdidaktik und Fachwissenschaft dar. (Roth 1980b, S.19)
Die Fachdidaktik ist primär für die fachspezifische Auswahl und Legitimation der Unterrichtsinhalte zuständig.
Könlein definiert die Fachdidaktik als "die Wissenschaft von pädagogisch angeleiteten institutionalisierten Lehren und Lernen fachlich bezogener Inhalte, Methoden, Prinzipien und Aspekte" (2004, S.140).
Beckmann fasst den Begriff der Fachdidaktik etwas enger und sieht sie als "die Theorie und der Lehre des Unterrichts in einem Fach unter Beachtung des Verhältnisses zu einer Fachwissenschaft" (1994, S. 674)
Der Fachdidaktik sind folgende Aufgaben zuzuordnen (Bayrhuber 2007, S. 230 f.):
  • Forschungsaufgaben
  • Entwicklungsaufgaben
  • Lehraufgaben
  • Fächerübergreifende Aufgaben

Zahlentheorie

Die Zahlentheorie ist neben der Geometrie eines der ältesten Gebiete der Mathematik. Man kann sich den Aufbau der Zahlentheorie wie einen mächtigen Baum vorstellen, der seine Wurzeln in der Antike hat und seine Äste und Blätter bis in die heutige Zeit reichen.

Das Wurzelwerk und den Stamm bildet die elementare Zahlentheorie, in der hauptsächlich mit den Ganzen Zahlen gearbeitet wird und mathematische Probleme mit Hilfe der Arithmetik gelöst werden. Die Äste, weitere Teilgebiete der Zahlentheorie, beziehen sich vor allem auf die Gebiete der Mathematik, aus denen ihre wichtigsten Hilfsmittel stammen.

Hierzu gehört die algebraische Zahlentheorie (Algebra) und die analytische Zahlentheorie (Analysis). Deutlich kleinere Äste bilden die geometrische Zahlentheorie (Geometrie), die prohabilistische Zahlentheorie (Wahrscheinlichkeitstheorie) und die algorithmische Zahlentheorie (Informatik).

(Aus dem Gebiet der Zahlentheorie stellen die elementare, analytische und algebraische Zahlentheorie die größten Teilgebiete dar.)

Zielorientierung

(vgl. Dweck & Leggett, Krapp et al., 2014)
Zielorientierungen befassen sich mit der Frage, welche Leistungsziele eine Person für wichtig erachtet.
Es wird zwischen den Dimensionen Leistungs(ziel)-/Performanzorientierung und Lern(ziel)orientierung unterschieden.

Zusammenhang geistige Beweglichkeit und Heurismen

(vgl. Bruder, 2003)
  • Schema: Beweglichkeitsaspekt
    → Heurismen (Teilhandlungen)
  • Reduktion
    → informative Figuren (veranschaulichen, Aufgabe verstehen, einfaches Modell finden)
    → Tabellen (Strukturieren eines Sachverhaltes)
    → Gleichungen (Zusammenhänge beschreiben, Modellierung)
  • Reversibilität
    → Rückwärtsarbeiten (Umkehraufgaben, was müsste ich kennen, um die gesuchte Größe zu bestimmen?)
  • Aspektbeachtung
    → Invarianzprinzip (Suche in Unterschiedlichem das Gemeinsame, Relativität erfassen oder mehrere Aspekte gleichzeitig)
    → Extremalprinzip (Suche nach Erfüllungsmengen für Randbedingungen oder nach extremen Fällen unter mehreren möglichen)
    → Zerlegungsprinzip (Wie kann man die Aufgabenstellung, den Sachverhalt oder das mathematische Objekt geschickt zerlegen oder aufteilen?)
  • Aspektwechsel
    → kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten
    → Transformationsprinzip (Übergang in eine Modellebene, zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem! Variiere die Bedingung!)
Mangelnde geistige Beweglichkeit kann teilweise durch ein bewusstes Lernen von Heursimen kompensiert werden, so dass die Lernenden zu vergleichbaren Ergebnissen gelangen wie unbewusste Denkabläufe bei Lernenden mit ausgeprägter geistiger Beweglichkeit.