Ableitung von Sinus und Cosinus
Aufgaben 7–10
Aufgabe 7
Wir geben hier einen kurzen Beweis dafür, dass $\sin’(x)=\cos(x)$ und $\cos’(x)=-\sin(x)$.
Ist der Beweis korrekt? Klicken Sie die richtige Antwort an. Falls Sie denken, der Beweis sei falsch, überlegen sie sich die Stelle, an der er scheitert und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Lösung.
Zum Beweis:
Offenbar gilt am Einheitskreis für beliebiges $x\in\mathbb{R}$:
\[\qquad \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\]
\[\Rightarrow\quad (\sin^2(x)+\cos^2(x))’=0 \]
Anwenden der Kettenregel liefert:
\[\qquad 2\sin(x)\sin’(x)+2\cos(x)\cos’(x)=0\]
\[\Rightarrow\quad -\sin(x)\sin’(x)=\cos(x)\cos’(x) \]
\[\Rightarrow\quad \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos’(x)}{\sin’(x)}\]
Vergleichen von Zähler und Nenner ergibt:
\[\sin’(x)=\cos(x)\qquad\text{und}\qquad\cos’(x)=-\sin(x)\]
Ist dieser Beweis richtig oder falsch?
Klicken Sie die richtige Antwort an.
Aufgabe 8
Eine Möglichkeit die Ableitung des Cosinus zu ermitteln erfolgt über die $h$-Methode. Zu zeigen ist $\cos’(x)=-\sin(x)$. Es gilt:
\[ \frac{d}{dx}\cos(x)\]
\[=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\]
\[ \stackrel{\small\text{Additionstheoreme}}{=}\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}\]
\[=\lim_{h\to 0} \left(\cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h}-\sin(x)\frac{\sin(h)}{h}\right)\]
\[=\cos(x)\cdot 0-\sin(x)\cdot 1\]
\[=-\sin(x)\]
Ist dieser Beweis richtig? Falls Sie denken, der Beweis sei falsch, überlegen sie sich die Stelle, an der er scheitert und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Lösung.
Klicken Sie die richtige Antwort an.
Aufgabe 9
Eine elegante Lösung um die Ableitungen des Sinus zu bestimmen ist die Ableitung der Reihendarstellung zu bestimmen, denn dies ist leicht möglich mit Hilfe der Summenregel. Es gilt:
\[\frac{d}{dx}\sin(x)\]
\[=\frac{d}{dx} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\right)\]
\[=\frac{d}{dx} \left(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\mp…\right)\]
\[=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4\mp…\]
\[=\cos(x)\]
Ist dieser Beweis richtig? Falls Sie denken, der Beweis sei falsch, überlegen sie sich die Stelle, an der er scheitert und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Lösung.
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Aufgabe 10
In der Schule kommt neben der Sinus- und Cosinusfunktion auch der Tangens zur Sprache, deswegen sollte dessen Ableitung ebenfalls beherrscht werden. Ist der folgende Beweis richtig? Klicken Sie die richtige Antwort an. Falls Sie denken, der Beweis sei falsch, überlegen sie sich die Stelle, an der er scheitert und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Lösung.
\[\frac{d}{dx}\tan(x)\]
\[=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)\]
\[=\frac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}\]
\[=\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\]
\[=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\]
\[=1-\tan^2(x)\]
Ist dieser Beweis richtig? Falls Sie denken, der Beweis sei falsch, überlegen sie sich die Stelle, an der er scheitert und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Lösung.
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